Để chứng minh bài toán, ta sẽ lần lượt thực hiện các bước như sau:

### a) Chứng minh BM = DN.

1. **Xác định các cạnh:**
- Trong hình thoi ABCD, ta có các cạnh AB = BC = CD = DA.
- Từ A kẻ AM vuông góc với BC, và AN vuông góc với CD. Như vậy, MA và NA sẽ là các cạnh vuông góc với các cạnh của hình thoi.

2. **Sử dụng tính chất đối xứng:**
- Vì ABCD là hình thoi, ta có AD // BC và AB // CD. Do đó, AM và AN đều là các đoạn thẳng mà vuông góc với các cạnh đối diện của hình thoi.
- Từ M, vẽ đường thẳng nối với A, từ N, vẽ đường thẳng nối với A. Do tính chất đối xứng của hình thoi, ta có thể suy ra BM và DN sẽ có độ dài bằng nhau.

3. **Chứng minh BM = DN:**
- Ta có tam giác ABM và tam giác ADN đều có:
- AB = AD (do ABCD là hình thoi).
- AM = AN (cùng là đường cao từ A xuống cạnh đối diện).
- Góc ABM = góc ADN = 90 độ.
- Từ đó, theo định lý Pytago, ta có BM^2 = AB^2 - AM^2 và DN^2 = AD^2 - AN^2. Vì AB = AD và AM = AN, nên BM = DN.

### b) Giả sử góc ABC = 60 độ. Chứng minh tam giác AMN đều.

1. **Tính góc AMN:**
- Với giả sử góc ABC = 60 độ, trong tam giác ABC, ta có góc ACB = 60 độ (do ABCD là hình thoi) và góc CAB = 60 độ. Do đó, tam giác ABC là tam giác đều với độ dài các cạnh bằng nhau.

2. **Tính góc trong tam giác AMN:**
- Góc AMN = 180 độ - (góc ABC + góc ACB) = 180 độ - (60 độ + 60 độ) = 60 độ.
- Tương tự, ta có góc ANM = 60 độ.

3. **Kết luận:**
- Ta có hai góc AMN = ANM = 60 độ. Điều này cùng với việc BM = DN đã chứng minh ở phần a) cho thấy rằng AM = AN, BM = DN là ba cạnh của tam giác AMN.
- Vì vậy, tam giác AMN là tam giác đều khi chúng có các góc bằng nhau và có các cạnh bằng nhau.

### Kết luận:
- Đã chứng minh BM = DN và tam giác AMN là tam giác đều khi góc ABC = 60 độ.