Để tính tổng biểu thức sau:

\[
S = \frac{2}{1 \cdot 3} + \frac{2}{3 \cdot 5} + \frac{2}{5 \cdot 7} + \ldots + \frac{2}{2023 \cdot 2025}
\]

Chúng ta có thể nhận thấy rằng tổng này có một dạng rất đặc biệt. Biểu thức tổng quát cho từng phần tử là:

\[
\frac{2}{n(n+2)}
\]

Trong đó \( n \) là các số lẻ bắt đầu từ 1 cho đến 2023. Do đó, \( n \) có thể được viết dưới dạng \( n = 2k - 1 \), với \( k = 1, 2, \ldots, 1012 \) (vì \( 2023 \) là số lẻ 2023 = \( 2 \cdot 1012 - 1 \)).

Biểu thức:

\[
\frac{2}{n(n+2)} = \frac{2}{(2k-1)(2k+1)} = \frac{2}{4k^2 - 1}
\]

Chúng ta có thể sử dụng phân tích phân số để đơn giản hóa biểu thức:

\[
\frac{2}{(2k-1)(2k+1)} = \frac{1}{2k-1} - \frac{1}{2k+1}
\]

Vì vậy, tổng \( S \) sẽ trở thành:

\[
S = \sum_{k=1}^{1012} \left( \frac{1}{2k-1} - \frac{1}{2k+1} \right)
\]

Bây giờ, khi chúng ta viết ra các phần tử của tổng, ta có:

\[
S = \left( \frac{1}{1} - \frac{1}{3} \right) + \left( \frac{1}{3} - \frac{1}{5} \right) + \left( \frac{1}{5} - \frac{1}{7} \right) + \ldots + \left( \frac{1}{2021} - \frac{1}{2023} \right)
\]

Như bạn có thể thấy, đây là một chuỗi telescoping, trong đó các phần tử hủy nhau đi. Kết quả cuối cùng sẽ là:

\[
S = 1 - \frac{1}{2023} = \frac{2023 - 1}{2023} = \frac{2022}{2023}
\]

Do đó, giá trị của biểu thức ban đầu là:

\[
\boxed{\frac{2022}{2023}}
\]