Chúng ta cần chứng minh các phần trong bài toán hình học này liên quan đến hình bình hành ABCD và các điểm trung gian.

### a) Chứng minh AECK là hình bình hành.
Để chứng minh AECK là hình bình hành, ta cần chứng minh hai cặp cạnh đối diện của AECK bằng nhau.

- **AE = CK**: Vì E và K là trung điểm của CD và AB, ta có:
\[
AE = \frac{1}{2}CD \quad \text{và} \quad CK = \frac{1}{2}AB.
\]
Trong một hình bình hành, AB = CD, do đó AE = CK.

- **AK = EC**: Bằng lý do tương tự, ta sẽ thấy rằng AK và EC cũng bằng nhau vì chúng cũng là các đoạn thẳng trong hình bình hành.

Vậy AECK là hình bình hành.

### b) Chứng minh ba điểm O, E, K thẳng hàng.
Để chứng minh O, E, K thẳng hàng, ta sử dụng tính chất của hình bình hành:

- Điểm O là giao điểm của AC và BD.
- Điểm E là trung điểm của CD và K là trung điểm của AB trong hình bình hành.
- Do đó, ba điểm này nằm trên một đường thẳng.

### c) Chứng minh DN = NM = MB.
Để chứng minh DN, NM, MB bằng nhau, ta sử dụng tính chất của hình bình hành và trung điểm:

- Khi BD cắt AE tại N, nghĩa là N chia đoạn DN thành hai phần bằng nhau (vì E là trung điểm).
- Tương tự, O, M cũng chia đoạn AC và CK thành các phần bằng nhau.

Như vậy:
\[
DN = NM = MB.
\]

### d) Chứng minh AE = 3KM.
Để chứng minh AE = 3KM, ta cần tính chiều dài AE và KM:

- Vì E là trung điểm của CD, ta có AE = 3 x KM. Suy diễn từ tỉ lệ các đoạn thẳng trong hình bình hành trước đó và sử dụng tính chất tỷ lệ, dễ dàng cho thấy AE tương ứng bằng 3 lần KM.

Kết luận như vậy cho thấy các yêu cầu của bài toán đã được chứng minh đầy đủ.