Để giải bài toán, chúng ta cần làm theo từng yêu cầu:

### a) Tính các góc của tam giác \( \triangle ABC \)

- Tam giác \( \triangle ABC \) có các cạnh \( AB = 5 \, \text{cm} \), \( AC = 5 \, \text{cm} \) và \( BC = 4 \, \text{cm} \).
- Đây là tam giác cân tại \( A \), vì \( AB = AC \).

Ta có thể tính góc \( A \) theo định lý cosin:

\[
\cos A = \frac{b^2 + c^2 - a^2}{2bc}
\]
với \( a = BC \), \( b = AC \), \( c = AB \). Thay vào công thức:

\[
\cos A = \frac{5^2 + 5^2 - 4^2}{2 \cdot 5 \cdot 5} = \frac{25 + 25 - 16}{50} = \frac{34}{50} = 0.68
\]

Từ đó, tính được góc A:

\[
A = \cos^{-1}(0.68) \approx 47.73^\circ
\]

Vì tam giác là cân, nên:

\[
B = C \approx \frac{180^\circ - A}{2} \approx \frac{180^\circ - 47.73^\circ}{2} \approx 66.14^\circ
\]

### b) Tính chu vi và diện tích của tam giác \( \triangle ABC \)

#### Chu vi:

\[
P = AB + AC + BC = 5 + 5 + 4 = 14 \, \text{cm}
\]

#### Diện tích:

Sử dụng công thức diện tích tam giác:

\[
S = \frac{1}{2} \cdot a \cdot h
\]

Trong đó, \( a = BC = 4 \, \text{cm} \) và \( h = AH = 5 \, \text{cm} \):

\[
S = \frac{1}{2} \cdot 4 \cdot 5 = 10 \, \text{cm}^2
\]

### Kết quả:

- **Góc \( A \approx 47.73^\circ \), góc \( B \approx 66.14^\circ \), góc \( C \approx 66.14^\circ \)**
- **Chu vi = 14 cm**
- **Diện tích = 10 cm²**