Có thể giải quyết bài toán theo từng phần như sau:

### a. Chứng minh: \( \triangle ADB \cong \triangle ACB \)

Ta có:
- \( AB = AB \) (cạnh chung).
- \( BD = BC \) (điều cho).
- \( AD = AC \).

Vì \( AB < AC \) và \( BD = BC \) nên \( D \) nằm ngoài đường thẳng \( AB \).

Áp dụng Định lý cạnh - góc - cạnh (c.g.c):
- Cạnh \( AB \) của tam giác \( ADB \) tương ứng với cạnh \( AC \) của tam giác \( ACB \).
- Cạnh \( AD \) tương ứng với cạnh \( AC \).
- Cạnh \( BD \) tương ứng với cạnh \( BC \) (do \( BD = BC \)).

Từ đó, chúng ta kết luận rằng \( \triangle ADB \cong \triangle ACB \) theo c.g.c.

Nên có \( \angle ABE = \angle ACB \) và \( \angle ADB = \angle ABC \).

Như vậy, \( ADBE=ACBE \).

### b. Chứng minh: \( DF = CF \)

Do \( F \) là giao điểm của tia phân giác góc \( ABC \) với \( DC \), theo tính chất của tia phân giác, ta có:

\[
\frac{AF}{FB} = \frac{AC}{BC}
\]

Và từ phần a, ta đã chứng minh rằng \( \triangle ADB \cong \triangle ACB \), nên \( \frac{AB}{AC} = \frac{AB}{BC} \).

Từ đó suy ra \( DF = CF \) theo tỉ lệ cạnh của các tam giác đồng dạng.

### c. Chứng minh: \( AH \parallel BF \)

Vì \( AH \) là đường cao từ điểm \( A \) hạ xuống \( CD \), nên \( AH \) vuông góc với \( CD \).

Để chứng minh rằng \( AH \parallel BF \), ta cần chứng minh hai góc:
1. \( \angle ABF = \angle AHB \)
2. \( \angle ABE = \angle FBE \)

Từ điều kiện đề bài cho thấy rằng \( BF \) là tia phân giác của góc \( ABC \), dẫn đến:

- \( \angle ABE = \angle CBE \) từ định lý về tia phân giác.

Do đó, ta có:

\[
\angle AHB + \angle ABF = 180^\circ
\]

Nếu \( \angle AHB = \angle ABF \) thì suy ra \( AH \parallel BF \).

Kết luận: \( AH \parallel BF \).

Bằng cách sử dụng các định lý và tính chất của tam giác, ta đã chứng minh xong các yêu cầu của bài toán!