Tìm x: x^2 + 2√(x^2 - 3x + 3) = 3x

Để giải phương trình \( x^2 + 2\sqrt{x^2 - 3x + 3} = 3x \), chúng ta sẽ tiến hành như sau:

Bắt đầu bằng việc tách phương trình ra:

\[
x^2 - 3x + 2\sqrt{x^2 - 3x + 3} = 0
\]

Đặt \( y = \sqrt{x^2 - 3x + 3} \) thì \( y^2 = x^2 - 3x + 3 \). Thay vào phương trình, ta có:

\[
x^2 - 3x + 2y = 0
\]

Giải phương trình bậc hai này cho \( y \):

\[
2y = 3x - x^2
\]

\[
y = \frac{3x - x^2}{2}
\]

Bây giờ chúng ta sẽ bình phương cả hai bên của \( y \):

\[
y^2 = \left(\frac{3x - x^2}{2}\right)^2
\]

Mặt khác, từ định nghĩa \( y \), ta có:

\[
x^2 - 3x + 3 = y^2
\]

Vì vậy, ta thay vào:

\[
x^2 - 3x + 3 = \left(\frac{3x - x^2}{2}\right)^2
\]

Giải phương trình này:

\[
x^2 - 3x + 3 = \frac{(3x - x^2)^2}{4}
\]

Nhân cả phương trình với 4 để loại bỏ mẫu:

\[
4(x^2 - 3x + 3) = (3x - x^2)^2
\]

Tính toán bên trái:

\[
4x^2 - 12x + 12
\]

Bên phải có thể mở rộng:

\[
(3x - x^2)^2 = 9x^2 - 6x^3 + x^4
\]

Từ đó ta nhận được phương trình:

\[
4x^2 - 12x + 12 = 9x^2 - 6x^3 + x^4
\]

Chuyển tất cả về một phía:

\[
x^4 - 6x^3 + 5x^2 + 12x - 12 = 0
\]

Đây là một phương trình bậc 4 mà ta sẽ giải bằng số nghiệm rễ của nó. Sử dụng phương pháp thử hoặc đồ thị, ta có thể tìm ra các nghiệm gần đúng hoặc chính xác.

Sau khi giải, ta tìm được các giá trị của \( x \).

Ngoài ra, có thể dễ dàng kiểm tra giá trị của \( x \) thay vào phương trình gốc để đảm bảo tính đúng đắn của nghiệm tìm được.

Nếu không thể giải bằng phương pháp đại số, có thể dùng máy tính hoặc phần mềm để tìm nghiệm.

Để có được nghiệm cụ thể, ta có thể thử các giá trị nguyên trong khoảng từ 0 đến 5 (dựa vào dấu nhị thức nhị khít). Giả sử tìm nghiệm từ 0 đến 5:

Sau một số phép thử, ta tìm được nghiệm dễ dàng hơn. Cụ thể, nghiệm là: \( x = 2 \) và kiểm tra lại:

\[
2^2 + 2\sqrt{2^2 - 3*2 + 3} = 3*2
\]

Giải thích bên trong dấu căn:

\[
2^2 - 3*2 + 3 = 4 - 6 + 3 = 1 \quad \Rightarrow \quad \sqrt{1} = 1
\]

Vậy có:

\[
4 + 2*1 = 6 \quad \Rightarrow \quad 6 = 6
\]

Nên \( x = 2 \) là nghiệm của phương trình.