Để tìm giá trị của \( m \) để các phương trình sau có nghiệm, chúng ta sẽ giải từng phương trình một.

### a. Phương trình \( \sin^2 x - \sin x - m = 0 \)

Đặt \( y = \sin x \), phương trình trở thành:

\[
y^2 - y - m = 0
\]

Để phương trình này có nghiệm, deltad (Δ) của phương trình bậc hai này cần phải lớn hơn hoặc bằng 0:

\[
\Delta = (-1)^2 - 4 \cdot 1 \cdot (-m) = 1 + 4m
\]

Để phương trình có nghiệm, cần có:

\[
1 + 4m \geq 0
\]

Giải bất phương trình này:

\[
4m \geq -1 \implies m \geq -\frac{1}{4}
\]

Tuy nhiên, chúng ta cũng cần kiểm tra xem các nghiệm này có nằm trong khoảng giá trị của \( \sin x \), tức là \( y \) phải thuộc đoạn \([-1, 1]\). Phương trình bậc hai có nghiệm sẽ cho ra nghiệm \( y = \frac{1 \pm \sqrt{1 + 4m}}{2} \).

Để nghiệm nằm trong đoạn \([-1, 1]\), chúng ta cần kiểm tra điều kiện:

1. \(\frac{1 - \sqrt{1 + 4m}}{2} \geq -1\)
2. \(\frac{1 + \sqrt{1 + 4m}}{2} \leq 1\)

Giải từng điều kiện:

**Điều kiện 1:**

\[
\frac{1 - \sqrt{1 + 4m}}{2} \geq -1
\]
\[
1 - \sqrt{1 + 4m} \geq -2
\]
\[
\sqrt{1 + 4m} \leq 3
\]
\[
1 + 4m \leq 9
\]
\[
4m \leq 8 \implies m \leq 2
\]

**Điều kiện 2:**

\[
\frac{1 + \sqrt{1 + 4m}}{2} \leq 1
\]
\[
1 + \sqrt{1 + 4m} \leq 2
\]
\[
\sqrt{1 + 4m} \leq 1
\]
\[
1 + 4m \leq 1 \implies 4m \leq 0 \implies m \leq 0
\]

Tóm lại, từ điều kiện \( m \geq -\frac{1}{4} \) và \( m \leq 0 \), ta có:

\[
-\frac{1}{4} \leq m \leq 0
\]

### b. Phương trình \( (\sin x + \cos x)^2 - (\sin x + \cos x) + 2m - 1 = 0 \)

Đặt \( z = \sin x + \cos x \), phương trình trở thành:

\[
z^2 - z + 2m - 1 = 0
\]

Để phương trình này có nghiệm, ta cũng cần tính \(\Delta\):

\[
\Delta = (-1)^2 - 4 \cdot 1 \cdot (2m - 1) = 1 - 8m + 4
\]
\[
\Delta = 5 - 8m
\]

Để phương trình có nghiệm, cần có:

\[
5 - 8m \geq 0 \implies 8m \leq 5 \implies m \leq \frac{5}{8}
\]

Ta cũng cần điều kiện cho \( z = \sin x + \cos x \). Ta biết rằng:

\[
z = \sqrt{2} \sin\left(x + \frac{\pi}{4}\right) \quad và \quad -\sqrt{2} \leq z \leq \sqrt{2}
\]

Vậy \( z \in \left[-\sqrt{2}, \sqrt{2}\right]\).

Áp dụng vào bất phương trình bậc hai:

\[
z^2 - z + 2m - 1 = 0
\]

Để hai nghiệm \( z_1, z_2 \) nằm trong khoảng \([- \sqrt{2}, \sqrt{2}]\), ta cần kiểm tra nghiệm lớn nhất và nhỏ nhất.

- Xem xét điều kiện \( z^2 - z + 2m - 1 = 0 \) có nghĩa là:

\[
z^2 - z + 2m - 1 \leq 0 \quad cho \quad z \in \left[-\sqrt{2}, \sqrt{2}\right]
\]

Phân tích hệ số, ta có hai điều kiện cho \( m \):

1. Khi \( z = \sqrt{2} \):
\[
2 - \sqrt{2} + 2m - 1 \leq 0 \implies 2m \leq \sqrt{2} - 1 \implies m \leq \frac{\sqrt{2} - 1}{2}
\]

2. Khi \( z = -\sqrt{2} \):
\[
2 - (-\sqrt{2}) + 2m - 1 \leq 0 \implies 2m \leq -\sqrt{2} - 1 \implies m \leq \frac{-\sqrt{2} - 1}{2}
\]

Tóm lại, từ điều kiện \( m \leq \frac{5}{8} \) và các kết quả ở trên, chúng ta thống nhất rằng hai giá trị này sẽ cho ra một khoảng giá trị cho \( m \).

### Kết luận:
Các điều kiện cho \( m \) là:
- Với phương trình a:
\(-\frac{1}{4} \leq m \leq 0\)
- Với phương trình b:
\(m \leq \frac{5}{8}\) và các điều kiện phụ thuộc vào khoảng giá trị của \( z \).