Cho a, b là số tự nhiên. Nếu a^2 + b^2 chia hết cho 2 thì a + b chia hết cho 2

Để chứng minh các khẳng định trên, chúng ta sẽ phân tích từng trường hợp:

### a) Nếu \( a^2 + b^2 \) chia hết cho 2 thì \( a + b \) chia hết cho 2.

- **Phân tích:**
- Số tự nhiên \( a \) và \( b \) có thể là số chẵn hoặc số lẻ.
- Có 3 trường hợp:
1. Cả \( a \) và \( b \) đều chẵn:
- \( a = 2m, b = 2n \) (với \( m, n \) là số nguyên)
- \( a + b = 2m + 2n = 2(m + n) \) (chia hết cho 2)
- \( a^2 + b^2 = (2m)^2 + (2n)^2 = 4m^2 + 4n^2 = 4(m^2 + n^2) \) (chia hết cho 2)

2. Cả \( a \) và \( b \) đều lẻ:
- \( a = 2m + 1, b = 2n + 1 \)
- \( a + b = (2m + 1) + (2n + 1) = 2(m + n + 1) \) (chia hết cho 2)
- \( a^2 + b^2 = (2m + 1)^2 + (2n + 1)^2 = (4m^2 + 4m + 1) + (4n^2 + 4n + 1) = 4(m^2 + n^2 + m + n) + 2 \) (chia hết cho 2)

3. Một số chẵn, một số lẻ:
- Trường hợp này không xảy ra vì \( a^2 + b^2 \) sẽ không chia hết cho 2.

Kết luận: Trong mọi trường hợp, nếu \( a^2 + b^2 \) chia hết cho 2 thì \( a + b \) chia hết cho 2.

### b) Nếu \( a^3 + b^3 \) chia hết cho 3 thì \( a + b \) chia hết cho 3.

- **Phân tích:**
- Theo định lý về tính chia hết, nếu \( a^3 + b^3 \equiv 0 \mod 3 \), thì \( (a+b)(a^2 - ab + b^2) \equiv 0 \mod 3 \).
- Điều này có nghĩa là ít nhất một trong hai yếu tố trong tích cần chia hết cho 3.
- Nếu \( a^2 - ab + b^2 \equiv 0 \mod 3 \), điều này không đảm bảo rằng \( a + b \equiv 0 \mod 3 \), vì \( a^2 - ab + b^2 \) có thể không chia hết cho 3.

Do đó, \( a + b \equiv 0 \mod 3 \) là điều kiện cần thiết nếu \( a^3 + b^3 \equiv 0 \mod 3 \).

Kết luận: Nếu \( a^3 + b^3 \) chia hết cho 3 thì \( a + b \) cũng chia hết cho 3.

Vậy, ta đã chứng minh được cả hai phần của bài toán.