Dưới đây là hướng dẫn giải các phương trình lượng giác từ bài tập mà bạn đã cung cấp:

### Bài tập 1:
a) Giải phương trình \( \sin x = \frac{\sqrt{3}}{2} \):
- \( x = \frac{\pi}{3} + 2k\pi \) hoặc \( x = \frac{2\pi}{3} + 2k\pi \) với \( k \in \mathbb{Z} \).

b) Giải phương trình \( 2\cos x = -\sqrt{2} \):
- \( \cos x = -\frac{\sqrt{2}}{2} \) → \( x = \frac{3\pi}{4} + 2k\pi \) hoặc \( x = \frac{5\pi}{4} + 2k\pi \) với \( k \in \mathbb{Z} \).

c) Giải phương trình \( \sqrt{3} \tan \left( \frac{x}{2} + 15^\circ \right) = 1 \):
- \( \tan \left( \frac{x}{2} + 15^\circ \right) = \frac{1}{\sqrt{3}} \) → \( \frac{x}{2} + 15^\circ = 30^\circ + k\pi \) hoặc \( \frac{x}{2} + 15^\circ = 150^\circ + k\pi \) với \( k \in \mathbb{Z} \).
- Giải cho \( x \).

d) Giải phương trình \( \cot(2x - 1) = \cot \frac{\pi}{5} \):
- \( 2x - 1 = \frac{\pi}{5} + k\pi \) hoặc \( 2x - 1 = \frac{6\pi}{5} + k\pi \) với \( k \in \mathbb{Z} \).
- Giải cho \( x \).

e) Giải phương trình \( \sin 2x + \cos 4x = 0 \):
- \( \sin 2x = -\cos 4x \).

f) Giải phương trình \( \cos 3x = \cos 7x \):
- \( 3x = 7x + 2k\pi \) hoặc \( 3x = -7x + 2k\pi \) với \( k \in \mathbb{Z} \).
- Giải cho \( x \).

---

### Bài tập 2:
a) Giải phương trình \( \cos \left( 2x + \frac{\pi}{6} \right) = 0 \):
- Tìm giá trị của \( x \).

b) Giải phương trình \( \cos(4x - 4) = 1 \):
- Tìm giá trị của \( x \).

c) Giải phương trình \( \sin(3x + \frac{\pi}{3}) = 1 \):
- Tìm giá trị của \( x \).

d) Giải phương trình \( \sin \left( \frac{\pi}{4} + 2x \right) = 1 \):
- Tìm giá trị của \( x \).

---

### Bài tập 3:
a) Giải phương trình \( \cot 4x = \cot \frac{2\pi}{7} \):
- Tìm giá trị của \( x \).

b) Giải phương trình \( 3x = -2 \):
- Tìm giá trị của \( x \).

c) Giải phương trình \( \sqrt{3} \tan\left(x + 15^\circ\right) - 1 \):
- Giải và tìm giá trị của \( x \).

d) Giải phương trình \( \cos 3x = -\cos 7x \):
- Tìm giá trị của \( x \).

---

### Bài tập 4:
a) Giải phương trình \( \sin \left( 2x + \frac{2\pi}{5} \right) = 0 \):
- Tìm giá trị của \( x \).

b) Giải phương trình \( \tan \left( \frac{x}{2} + \frac{6}{5} \right) = -1 \):
- Tìm giá trị của \( x \).

---

### Bài tập 5:
Tìm m để phương trình \( \sqrt{2} \sin \left( x + \frac{\pi}{4} \right) = m \) có nghiệm tại \( x \in \left(0, \frac{\pi}{2}\right) \):
- Phương trình có nghiệm khi \( -\sqrt{2} \leq m \leq \sqrt{2} \).

---

### Bài tập 6:
Phương trình dao động điều hòa là \( x = 2\cos \left( 51t - \frac{\pi}{6} \right) \):
- Tìm số lần vật đi qua vị trí cân bằng trong khoảng từ \( t = 0 \) đến \( t = 6 \) giây.

Số lần đi qua vị trí cân bằng tương ứng với số lần mà \( x = 0 \):
- Giải \( 51t - \frac{\pi}{6} = \frac{\pi}{2} + k\pi \) để tìm giá trị của \( t \) trong khoảng \( (0, 6) \).

Hy vọng hướng dẫn này sẽ giúp bạn giải quyết bài tập một cách đầy đủ!