Chứng minh rằng cos(a + b) + 2cos(a - b) / sin(a + b) - sin(a - b) = 3cotb + tana / 2

Để chứng minh đẳng thức

\[
\frac{\cos(a + b) + 2\cos(a - b)}{\sin(a + b) - \sin(a - b)} = 3\cot b + \frac{\tan a}{2},
\]

ta sẽ bắt đầu từ biểu thức bên trái và đơn giản hóa nó.

**Bước 1: Sử dụng định nghĩa về hàm lượng giác.**
Theo công thức cộng, ta có:

- \(\cos(a + b) = \cos a \cos b - \sin a \sin b\)
- \(\cos(a - b) = \cos a \cos b + \sin a \sin b\)
- \(\sin(a + b) = \sin a \cos b + \cos a \sin b\)
- \(\sin(a - b) = \sin a \cos b - \cos a \sin b\)

**Bước 2: Tính \(\cos(a + b) + 2\cos(a - b)\)**

\[
\cos(a + b) + 2\cos(a - b) = \cos a \cos b - \sin a \sin b + 2(\cos a \cos b + \sin a \sin b)
\]

\[
= \cos a \cos b - \sin a \sin b + 2\cos a \cos b + 2\sin a \sin b
\]

\[
= 3\cos a \cos b + \sin a \sin b
\]

**Bước 3: Tính \(\sin(a + b) - \sin(a - b)\)**

\[
\sin(a + b) - \sin(a - b) = (\sin a \cos b + \cos a \sin b) - (\sin a \cos b - \cos a \sin b)
\]

\[
= 2\cos a \sin b
\]

**Bước 4: Thay vào biểu thức ban đầu.**

Vậy biểu thức thì trở thành:

\[
\frac{3\cos a \cos b + \sin a \sin b}{2 \cos a \sin b}
\]

**Bước 5: Tách phân số.**

Chúng ta có

\[
= \frac{3\cos a \cos b}{2 \cos a \sin b} + \frac{\sin a \sin b}{2 \cos a \sin b}
\]

\[
= \frac{3\cos b}{2 \sin b} + \frac{\sin a}{2 \cos a}
\]

Biểu thức \(\frac{3\cos b}{2 \sin b} = \frac{3}{2} \cot b\) và \(\frac{\sin a}{2 \cos a} = \frac{1}{2} \tan a\).

**Bước 6: Kết luận.**

Từ đây ta có:
\[
\frac{\cos(a + b) + 2\cos(a - b)}{\sin(a + b) - \sin(a - b)} = \frac{3}{2} \cot b + \frac{1}{2} \tan a = 3\cot b + \frac{\tan a}{2}.
\]

Vậy đẳng thức đã được chứng minh là đúng.