Để chứng tỏ rằng \( x = 1 \) là nghiệm của đa thức \( f(x) = 3x^2 - 2x - 1 \), ta thay \( x = 1 \) vào đa thức và kiểm tra.

\[
f(1) = 3(1)^2 - 2(1) - 1 = 3 - 2 - 1 = 0
\]

Vì \( f(1) = 0 \), nên \( x = 1 \) là nghiệm của mức biểu thức \( f(x) \).

Bây giờ, để tìm một nghiệm khác của \( f(x) \), ta có thể sử dụng công thức nghiệm của phương trình bậc hai. Đa thức có dạng:

\[
a = 3, \quad b = -2, \quad c = -1
\]

Sử dụng công thức nghiệm:

\[
x = \frac{{-b \pm \sqrt{{b^2 - 4ac}}}}{2a}
\]

Tính toán giá trị của \( b^2 - 4ac \):

\[
b^2 - 4ac = (-2)^2 - 4 \cdot 3 \cdot (-1) = 4 + 12 = 16
\]

Bây giờ tính \( x \):

\[
x = \frac}{2 \cdot 3} = \frac{6}
\]

Có hai nghiệm:

\[
x_1 = \frac{6} = 1 \quad (nghiệm đã biết)
\]
\[
x_2 = \frac{6} = \frac{{-2}}{6} = -\frac{1}{3}
\]

Vậy nghiệm khác của \( f(x) \) là \( x = -\frac{1}{3} \).