Để giải bài toán này, chúng ta sẽ làm theo từng phần yêu cầu:

### a) Tính số đo góc \( BIC \).

Đối với tam giác \( ABC \ vuông\) cân tại \( A\), ta có:

- \( AB = AC \).
- Góc \( A = 90^\circ \).

Khi \( BD \) và \( CE \) là các đường phân giác, điểm \( I \) là giao điểm của chúng. Ta có thể sử dụng một số tính chất về góc để tìm ra số đo của góc \( BIC \).

Áp dụng tính chất về các góc ở giao điểm, ta có:
\[
\angle BIC = 90^\circ + \frac{1}{2} \angle A.
\]

Vì góc \( A = 90^\circ \), ta có:
\[
\angle BIC = 90^\circ + \frac{1}{2} \times 90^\circ = 90^\circ + 45^\circ = 135^\circ.
\]

### b) Chứng minh các tam giác \( IDC \) và \( NDC \) bằng nhau.

Để chứng minh \( \triangle IDC \cong \triangle NDC \), ta sẽ chứng minh cả ba cặp cạnh và góc tương ứng:

1. **Cạnh chung**:
- \( DC \) là cạnh chung, do đó \( DC = DC \).

2. **Cặp góc**:
- Do \( BC \) là trung trực của đoạn thẳng \( IM \) nên \( BI = IC \).
- Tương tự, do \( AC \) là trung trực của đoạn thẳng \( IN \) nên \( NI = IC \).

3. **Ứng dụng tiêu chuẩn**:
- Từ hai cặp cạnh đã chứng minh và một cặp góc chung (góc \( IDC \) và \( NDC \) là giống nhau):

Kết luận, theo tiêu chuẩn cạnh-góc-cạnh (CGC), ta có:
\[
\triangle IDC \cong \triangle NDC.
\]

Vậy là đã hoàn tất chứng minh.