Để chứng minh các kết quả trong bài toán, ta có thể làm như sau:

### a) Chứng minh rằng \( CD \perp AB \) và \( BE \perp AC \).

1. **Vùng gốc**: Vì \( O \) là trung điểm của đoạn \( BC \), nên \( OC = OB = R \) (bán kính của đường tròn).
2. **Tam giác vuông**: Theo định lý của đường tròn, điểm \( D \) nằm trên đường tròn thì góc \( \angle DBC \) và góc \( \angle DCB \) là góc vuông.
3. **Tính chất góc**: Từ \( D \) trên đường tròn, ta sẽ có \( \angle BDC = 90^\circ \).
4. **Hậu quả**: Suy ra \( CD \perp AB \) và do tương tự, ta có \( BE \perp AC \).

### b) Chứng minh rằng \( AH \perp BC \).

1. **Điểm giao nhau**: \( H \) là giao điểm của hai đoạn thẳng \( BE \) và \( CD \).
2. **Góc vuông**: Từ \( D \) và \( E \) đều nằm trên đường tròn có đường kính \( BC \), nên \( \angle DBC = \angle EBC = 90^\circ \). Do đó, \( \angle DHE = 90^\circ \) (vì \( H \) nằm trên cả hai đoạn \( BE \) và \( CD \)).
3. **Hậu quả**: Vì \( H \) là điểm giao nhau của hai đường vuông góc với \( BC \), nên \( AH \perp BC \).

Kết luận, ta đã chứng minh được rằng \( CD \perp AB \), \( BE \perp AC \) và \( AH \perp BC \).