Cho hình thang cân ABCD có AB//CD và AB < CD; 2 đường cao AH và BK. Chứng minh Tam giác AHD = Tam giác BKC

Để chứng minh các phần câu hỏi, trước tiên ta sẽ vẽ hình thang cân ABCD như quy định, với AB // CD và AB < CD. Hai đường cao AH và BK hạ từ điểm A và B xuống cạnh CD.

### a) Chứng minh tam giác AHD = tam giác BKC

- **Các yếu tố giống nhau**:
- Góc AHD và góc BKC: Cả hai góc này đều bằng 90 độ (do AH và BK là hai đường cao).
- Từ định nghĩa hình thang cân, ta có:
- AB // CD → các đường cao AH và BK là hai đoạn thẳng vuông góc với CD nên tạo ra hình chữ nhật => AH = BK (các đoạn cao từ đỉnh tới cạnh đáy).
- Các cạnh AD và BC là các cạnh bên tương ứng của hình thang cân và đều có độ dài bằng nhau.

- **Khảo sát ba yếu tố**:
1. \( AH = BK \) (các đường cao);
2. \( \angle AHD = \angle BKC = 90^\circ \);
3. \( AD = BC \) (do tính chất hình thang cân).

Suy ra:
\[
\triangle AHD \cong \triangle BKC \quad (\text{theo định lý đường cao cho tam giác vuông})
\]

### b) Chứng minh AB = HK

Để chứng minh AB = HK, ta sẽ sử dụng thông tin về hình thang cân:

- Theo tính chất đường thẳng song song, ta có:
- AB // CD (các đoạn song song);
- HK là đoạn thẳng nối hai điểm H và K trên đường CD.

Xét hệ số tỉ lệ của các đoạn:
- Ta biết rằng hai đoạn nối giữa các đỉnh tương ứng của hình thang cân tạo thành hình thang nhỏ HK trên cạnh CD, mà hai đoạn vuông góc từ A và B đến CD tạo thành hình chữ nhật.

Do đó, kết luận:
\[
AB = HK
\]

### c) Chỉ ra KC = \(\frac{DC - AB}{2}\)

- Ta xét dài từng cạnh:

1. Do AB < CD, với CD = DC, ta có:
\[
DC = AB + 2KC
\]
2. Giải phương trình này để tìm KC:
\[
KC = \frac{DC - AB}{2}
\]

Như vậy, ta đã chứng minh rằng độ dài KC bằng \(\frac{DC - AB}{2}\).

Tóm lại, ba phần chứng minh đã hoàn tất:
1. Tam giác AHD = BKC.
2. AB = HK.
3. KC = \(\frac{DC - AB}{2}\).