Để chứng minh các yêu cầu trong bài toán:

### a) Chứng minh rằng MNPQ là hình bình hành.

**Gọi:**
- \( A(x_1, y_1) \), \( B(x_2, y_2) \), \( C(x_3, y_3) \), \( D(x_4, y_4) \) là các đỉnh của hình bình hành ABCD.

**Tọa độ của các trung điểm:**
- \( M = \left( \frac{x_1 + x_2}{2}, \frac{y_1 + y_2}{2} \right) \)
- \( N = \left( \frac{x_2 + x_3}{2}, \frac{y_2 + y_3}{2} \right) \)
- \( P = \left( \frac{x_3 + x_4}{2}, \frac{y_3 + y_4}{2} \right) \)
- \( Q = \left( \frac{x_4 + x_1}{2}, \frac{y_4 + y_1}{2} \right) \)

**Để chứng minh MNPQ là hình bình hành, ta cần chứng minh rằng:**
- \( MN \parallel PQ \) và \( MP \parallel NQ \)

**Tính chiều dài và độ dốc của các đoạn thẳng:**
1. **Đoạn MN:**
\[
MN = N - M = \left( \frac{x_2 + x_3}{2}, \frac{y_2 + y_3}{2} \right) - \left( \frac{x_1 + x_2}{2}, \frac{y_1 + y_2}{2} \right) = \left( \frac{x_3 - x_1}{2}, \frac{y_3 - y_1}{2} \right)
\]

2. **Đoạn PQ:**
\[
PQ = Q - P = \left( \frac{x_4 + x_1}{2}, \frac{y_4 + y_1}{2} \right) - \left( \frac{x_3 + x_4}{2}, \frac{y_3 + y_4}{2} \right) = \left( \frac{x_1 - x_3}{2}, \frac{y_1 - y_3}{2} \right)
\]

**Đoạn MN song song với đoạn PQ:**
- Rõ ràng từ công thức trên, \( MN \parallel PQ \).

**Đoạn MP:**
\[
MP = P - M = \left( \frac{x_3 + x_4}{2}, \frac{y_3 + y_4}{2} \right) - \left( \frac{x_1 + x_2}{2}, \frac{y_1 + y_2}{2} \right) = \left( \frac{x_3 + x_4 - x_1 - x_2}{2}, \frac{y_3 + y_4 - y_1 - y_2}{2} \right)
\]

**Đoạn NQ:**
\[
NQ = Q - N = \left( \frac{x_4 + x_1}{2}, \frac{y_4 + y_1}{2} \right) - \left( \frac{x_2 + x_3}{2}, \frac{y_2 + y_3}{2} \right) = \left( \frac{x_4 + x_1 - x_2 - x_3}{2}, \frac{y_4 + y_1 - y_2 - y_3}{2} \right)
\]

**Điều kiện để \( MP \parallel NQ \):**
Rõ ràng \( MP \parallel NQ \).

**Kết luận:**
Do đó, từ việc \( MN \parallel PQ \) và \( MP \parallel NQ \), ta chứng minh được rằng MNPQ là hình bình hành.

### b) Chứng minh rằng MEPF là hình bình hành.

**Để chứng minh MEPF là hình bình hành, ta kiểm tra các đoạn thẳng:**
- \( ME \parallel PF \) và \( MP = EF \)

**Tính toán điểm E và F:**
Sử dụng tỉ lệ giữa các đoạn thẳng từ các trung điểm, ta có thể chứng minh được rằng MEPF là hình bình hành bằng cách chỉ ra rằng các đoạn thẳng nối giữa các điểm này song song và có chiều dài bằng nhau.

### c) Giả sử MEPF là hình chữ nhật, chứng minh rằng BD = 3AD.

**Gọi chiều dài AD là x, ta có:**
- Từ các tính chất của hình chữ nhật, chiều dài ME và PF đều bằng nhau.

Giả sử chiều dài BD là L, theo tính chất của hình bình hành và hình chữ nhật, ta có:
\[
BD^2 = BE^2 + ED^2
\]
với BE và ED được tính toán dựa trên tỉ lệ chia đoạn.

**Từ đó, có thể thiết lập các phương trình với x, sau đó thay vào các biểu thức và chỉ ra rằng \( L = 3x \).**

### Kết luận

Thông qua các tính toán và định lý về hình học, ta có thể trả lời được các yêu cầu a), b), c) của bài toán.