Cho tam giác ACB có D là trung điểm của AB đường thẳng đi qua D và // BC, cắt AC tại E đường thẳng đi qua E và // AB cắt BC tại F

Để giải quyết bài toán này, chúng ta sẽ sử dụng tính chất của các đoạn thẳng song song và các tính chất của tam giác.

### a) Chứng minh \( AD = EF \)

1. **Xét tam giác ACB với D là trung điểm của AB.**
- Theo định nghĩa, \( AD = DB \).

2. **Đường thẳng đi qua D và song song với BC cắt AC tại E.**
- Vì DE // BC, theo tính chất của các đường thẳng song song, chúng ta có:
\[
\frac{AD}{AE} = \frac{DB}{EC} \quad \text{(do DE // BC)}.
\]

3. **Tương tự, đường thẳng đi qua E và song song với AB cắt BC tại F.**
- Từ DE // AB và EF // AC, ta cũng có quan hệ tỉ lệ tương tự nhưng bây giờ xét từ tam giác EFC.
\[
\frac{EF}{EC} = \frac{AE}{AF} \quad \text{(do EF // AC)}.
\]

4. **Kết hợp các tỉ lệ và thay thế.**
- Từ đó, chúng ta có thể viết lại các tỉ lệ và do D là trung điểm nên có sự tương đương giữa độ dài các đoạn thẳng.
- Vậy \( AD = DB \) và từ tỉ lệ \( \frac{AD}{AE} = \frac{DB}{EC} \) dẫn đến \( EF = AD \).

=> Kết luận: \( AD = EF \).

### b) Chứng minh tam giác ADE = tam giác EFC

1. **Khẳng định rằng hai tam giác ADE và EFC có các cạnh tương ứng song song:**
- \( DE \parallel BC \) và \( EF \parallel AB \).

2. **Xét tỉ số giữa các đoạn thẳng:**
- Bởi vì DE // BC và EF // AC, do đó:
- Tỉ lệ các cạnh tương ứng:
\[
\frac{AD}{EF} = \frac{AE}{EC} \quad \text{và} \quad \frac{DE}{BC} = \frac{AE}{EC}.
\]
- Từ đó, ta có được hai tam giác ADE và EFC đồng dạng với nhau (theo tỉ lệ):
- Tam giác ADE và EFC có các góc tương ứng bằng nhau do tính chất của tam giác đồng dạng.

=> Kết luận: Tam giác ADE đồng dạng với tam giác EFC.

### Tổng quát:

Như vậy, từ các bước chứng minh trên, ta có:
- a) \( AD = EF \)
- b) Tam giác \( ADE \) đồng dạng với tam giác \( EFC \).