Để tính biểu thức \( \frac{1}{\sqrt{2}} - \frac{\sqrt{31}}{\sqrt{2} - \sqrt{3}} \), trước hết chúng ta cần giải quyết phần phân số thứ hai:

\[
\frac{\sqrt{31}}{\sqrt{2} - \sqrt{3}}
\]

Để đơn giản hóa, chúng ta sẽ nhân tử số và mẫu số với liên hợp của mẫu số, tức là \( \sqrt{2} + \sqrt{3} \):

\[
\frac{\sqrt{31}(\sqrt{2} + \sqrt{3})}{(\sqrt{2} - \sqrt{3})(\sqrt{2} + \sqrt{3})}
\]

Khi tính mẫu số, chúng ta có:

\[
(\sqrt{2} - \sqrt{3})(\sqrt{2} + \sqrt{3}) = \sqrt{2}^2 - \sqrt{3}^2 = 2 - 3 = -1
\]

Vậy phân số trở thành:

\[
\frac{\sqrt{31}(\sqrt{2} + \sqrt{3})}{-1} = -\sqrt{31}(\sqrt{2} + \sqrt{3}) = -\sqrt{62} - \sqrt{93}
\]

Bây giờ chúng ta sẽ thay vào biểu thức ban đầu:

\[
\frac{1}{\sqrt{2}} - (-\sqrt{62} - \sqrt{93}) = \frac{1}{\sqrt{2}} + \sqrt{62} + \sqrt{93}
\]

Đến đây, chúng ta đã hoàn thành việc đơn giản hóa biểu thức. Tuy nhiên, nếu bạn cũng muốn đưa ra kết quả dưới dạng một biểu thức cụ thể, hãy viết lại như sau:

\[
\frac{1}{\sqrt{2}} + \sqrt{62} + \sqrt{93}
\]

Đây là kết quả cuối cùng của phép tính.