Để giải bài toán tam giác vuông ABC với A là góc vuông, biết \( AB = 3 \) cm và \( AC = 4 \) cm, ta có thể sử dụng Định lý Pythagore.

### a) Tính độ dài cạnh BC và số đo góc B:

1. **Tính cạnh BC**:
- Theo Định lý Pythagore:
\[
BC^2 = AB^2 + AC^2
\]
\[
BC^2 = 3^2 + 4^2 = 9 + 16 = 25
\]
\[
BC = \sqrt{25} = 5 \text{ cm}
\]

2. **Tính số đo góc B**:
- Ta có:
\[
\tan(B) = \frac{AC}{AB} = \frac{4}{3}
\]
- Tính góc B:
\[
B = \tan^{-1}\left(\frac{4}{3}\right) \approx 53.13^\circ
\]

### b) Vẽ đường cao AH và tính AH, BH, HC:

1. **Tính chiều cao AH**:
- Diện tích tam giác ABC có thể tính bằng hai cách:
- Sử dụng cạnh đáy AB và chiều cao AH:
\[
S = \frac{1}{2} \times AB \times AC = \frac{1}{2} \times 3 \times 4 = 6 \text{ cm}^2
\]
- Sử dụng cạnh đáy BC và chiều cao AH:
\[
S = \frac{1}{2} \times BC \times AH = \frac{1}{2} \times 5 \times AH
\]
- Cân bằng hai công thức:
\[
6 = \frac{1}{2} \times 5 \times AH \implies 12 = 5 \times AH \implies AH = \frac{12}{5} = 2.4 \text{ cm}
\]

2. **Tính BH và HC**:
- Sử dụng tỉ lệ:
- \( BH \) và \( HC \) là các đoạn thẳng mà ta có thể tính:
\[
\frac{BH}{HC} = \frac{AC}{AB} = \frac{4}{3}
\]
- Gọi \( BH = 4k \) và \( HC = 3k \). Vì:
\[
BH + HC = BC = 5 \implies 4k + 3k = 5 \implies 7k = 5 \implies k = \frac{5}{7}
\]
- Tính:
\[
BH = 4k = \frac{20}{7} \text{ cm} \approx 2.86 \text{ cm}
\]
\[
HC = 3k = \frac{15}{7} \text{ cm} \approx 2.14 \text{ cm}
\]

### Kết luận:
- Độ dài cạnh BC: \( 5 \) cm
- Số đo góc B: \( \approx 53.13^\circ \)
- Chiều cao AH: \( 2.4 \) cm
- Đối với BH: \( \approx 2.86 \) cm, HC: \( \approx 2.14 \) cm.