Để giải bài toán này, ta sẽ làm theo từng phần được yêu cầu.

### a. Tính AC và AH

- Ta có: \( AB = 3 \, \text{cm} \), và góc \( ACB = 30^\circ \).
- Sử dụng định nghĩa của sin trong tam giác vuông:

\[
\sin(30^\circ) = \frac{AH}{AC} \implies AH = AC \cdot \sin(30^\circ) = AC \cdot \frac{1}{2}
\]

- Đồng thời, để tính \( AC \), ta sử dụng cosin:

\[
\cos(30^\circ) = \frac{AB}{AC} \implies AC = \frac{AB}{\cos(30^\circ)} = \frac{3 \, \text{cm}}{\frac{\sqrt{3}}{2}} = \frac{6 \, \text{cm}}{\sqrt{3}} = 2\sqrt{3} \, \text{cm}
\]

- Từ đó, ta có:
\[
AH = 2\sqrt{3} \cdot \frac{1}{2} = \sqrt{3} \, \text{cm}
\]

### b. Chứng minh \( BE^2 + BA^2 + CF^2 + 2 \cdot BH \cdot CH = BC^2 \)

Trong tam giác vuông \( ABC \), áp dụng định lý Pythagore:

\[
BC^2 = AB^2 + AC^2
\]

Suy ra:

\[
BC^2 = 3^2 + (2\sqrt{3})^2 = 9 + 12 = 21
\]

Tiếp theo, ta cần tính \( BE, BA, CF, BH, CH \):

- \( BE = AB - AE = 3 - AH \).

Vì \( AH = \sqrt{3} \), nên:
\[
BE = 3 - \sqrt{3}
\]

- \( CF = AC - AF = 2\sqrt{3} - AH \).
\[
CF = 2\sqrt{3} - \sqrt{3} = \sqrt{3}
\]

- Tính \( BH \) và \( CH \) qua định lý hình chiếu. Từ đấy, sẽ thay vào và chứng minh.

### c. Tìm giá trị nhỏ nhất diện tích từ giác HEAF

Diện tích của tam giác HEAF có thể tính bằng công thức:

\[
S = \frac{1}{2} \cdot HE \cdot AF
\]

Để tìm giá trị nhỏ nhất của diện tích này, bạn cần tối ưu hóa các giá trị của \( HE \) và \( AF \). Sử dụng phương pháp đạo hàm hoặc bất đẳng thức sẽ hỗ trợ tìm ra giá trị nhỏ nhất trong trường hợp này.

Mong rằng phần hướng dẫn này sẽ giúp ích cho bạn trong việc giải bài toán!