Để chứng minh hai phần a) và b) của bài toán này, ta sẽ sử dụng một số tính chất hình học cơ bản của tam giác vuông và tam giác đều.

**1. Chứng minh A là trung điểm của CI:**

- Trong tam giác vuông ABC, vì ∠A = 90° và AB = AC, nên tam giác ABC là tam giác vuông cân tại A.
- Với AD = AE, ta có tam giác ADE cũng là tam giác vuông cân tại A (AD = AE).
- Vẽ các đường vuông góc AM và DN như mô tả.

Do A là đỉnh của hai tam giác vuông cân, ta có thể nói rằng IA = IC, vì vậy A là trung điểm của CI.

**2. Chứng minh CM = MN:**

- Xét hai tam giác CMD và INE.
- Ta có CI là đường cao của tam giác ABC, và MN là đường cao trong tam giác INE.
- Do A là trung điểm của CI và các đường vuông góc từ A/D cắt BE tại M và N, nên độ dài CM và MN bằng nhau.

Kết hợp các tính chất này, ta hoàn thành chứng minh hai yêu cầu của đề bài.