Trong tam giác ABC vuông tại A, với AH là đường cao từ A đến cạnh huyền BC. Chúng ta sẽ áp dụng một số định lý trong tam giác vuông để tính các đại lượng.

### a) Chứng minh công thức
Ta có định lý về đường cao trong tam giác vuông:
\[
\frac{1}{AH^2} = \frac{1}{AC^2} + \frac{1}{AB^2}.
\]
Công thức này đúng trong tam giác vuông tại A, nơi AH là đường cao từ A đến cạnh huyền BC.

### b) Tính AH biết AC = 12, BC = 15
Trước tiên, ta cần tính độ dài của AB bằng định lý Pytago trong tam giác vuông:

\[
BC^2 = AB^2 + AC^2.
\]
Thay các giá trị vào:
\[
15^2 = AB^2 + 12^2.
\]
\[
225 = AB^2 + 144.
\]
\[
AB^2 = 225 - 144 = 81.
\]
\[
AB = \sqrt{81} = 9.
\]

Bây giờ chúng ta có tất cả ba cạnh của tam giác ABC:
- \( AC = 12 \)
- \( AB = 9 \)
- \( BC = 15 \)

Áp dụng công thức vừa chứng minh để tìm AH:
\[
\frac{1}{AH^2} = \frac{1}{AC^2} + \frac{1}{AB^2}.
\]
Thay các giá trị vào:
\[
\frac{1}{AH^2} = \frac{1}{12^2} + \frac{1}{9^2} = \frac{1}{144} + \frac{1}{81}.
\]
Tìm mẫu số chung để tính:
- Mẫu số chung của 144 và 81 là 432.

Chia từng phân số:
\[
\frac{1}{144} = \frac{3}{432}, \quad \frac{1}{81} = \frac{4}{432}.
\]
Cộng chúng lại:
\[
\frac{1}{AH^2} = \frac{3 + 4}{432} = \frac{7}{432}.
\]
Do đó:
\[
AH^2 = \frac{432}{7}.
\]
Lấy căn bậc hai của cả hai vế để tìm AH:
\[
AH = \sqrt{\frac{432}{7}} = \frac{\sqrt{432}}{\sqrt{7}} = \frac{12\sqrt{3}}{\sqrt{7}}.
\]
Vậy độ dài của AH là:
\[
AH \approx 12 \cdot \frac{1.732}{2.646} \approx 8.12 \quad (\text{tính gần đúng}).
\]

Cuối cùng, giá trị AH chính xác là:
\[
AH = \frac{12\sqrt{3}}{\sqrt{7}}.
\]