Để giải bài toán này, ta cần tìm tất cả các số tự nhiên \( n \) sao cho khi viết thêm số 0 vào giữa chữ số hàng chục và các hàng đơn vị, số mới gấp 3 lần số ban đầu \( n \).

Gọi số \( n \) có dạng \( n = 10a + b \), trong đó:
- \( a \) là chữ số hàng chục,
- \( b \) là chữ số hàng đơn vị.

Khi thêm số 0 vào giữa, số mới sẽ có dạng \( 100a + b \). Theo đề bài, ta có:

\[
100a + b = 3(10a + b)
\]

Giải phương trình trên:

\[
100a + b = 30a + 3b
\]

Rút gọn:

\[
100a + b - 30a - 3b = 0
\]

\[
70a - 2b = 0
\]

Từ đó, ta được:

\[
70a = 2b \Rightarrow 35a = b
\]

Vì \( a \) và \( b \) đều là chữ số, nên \( a \) có thể là 0 đến 9. Tuy nhiên, để \( b \) cũng nằm trong khoảng từ 0 đến 9, ta cần có:

\[
0 \leq 35a \leq 9
\]

Điều này kéo theo \( a \) chỉ có thể nhận giá trị 0 hoặc 1.

- Nếu \( a = 0 \), thì \( b = 0 \). Số là \( n = 10 \times 0 + 0 = 0 \) (không phải số tự nhiên).
- Nếu \( a = 1 \), thì \( b = 35 \times 1 = 35 \) (lớn hơn 9).

Vậy không có giá trị nào cho \( a \) trong khoảng từ 0 đến 9 để cho \( b = 35a \) cũng là một chữ số hợp lệ.

**Kết luận:** Không có số tự nhiên nào thỏa mãn điều kiện đã cho.