Cho các số nguyên a; b thoả mãn a^2+b^2 chia hết cho 27. Chứng minh rằng ab chia hết cho 81

Để chứng minh rằng \( ab \) chia hết cho \( 81 \) khi \( a^2 + b^2 \) chia hết cho \( 27 \), chúng ta sẽ xem xét trường hợp của \( a \) và \( b \) modulo \( 27 \).

### Bước 1: Xét các trường hợp modulo \( 3 \)

Trước hết, note rằng \( 27 = 3^3 \). Ta biết rằng \( a^2 \equiv 0, 1 \) hoặc \( 2 \mod 3 \) (theo định lý cơ bản của số học). Cụ thể, chúng ta có:
- \( a^2 \equiv 0 \mod 3 \) khi \( a \equiv 0 \mod 3 \)
- \( a^2 \equiv 1 \mod 3 \) khi \( a \equiv 1 \mod 3 \)
- \( a^2 \equiv 1 \mod 3 \) khi \( a \equiv 2 \mod 3 \)
- \( b^2 \) có cùng các giá trị như vậy.

### Bước 2: Xét trường hợp tổng bình phương

Ta có \( a^2 + b^2 \equiv 0 \mod 3 \). Điều này có nghĩa là tổng của hai số bình phương phải chia hết cho \( 3 \). Có một số trường hợp:

1. \( a^2 \equiv 0 \mod 3 \) và \( b^2 \equiv 0 \mod 3 \) \( \Rightarrow a \equiv 0 \mod 3 \) và \( b \equiv 0 \mod 3 \): do đó, \( ab \equiv 0 \mod 3 \).
2. \( a^2 \equiv 1 \mod 3 \) và \( b^2 \equiv 1 \mod 3 \): thì \( a^2 + b^2 \equiv 2 \mod 3 \) (loại).
3. \( a^2 \equiv 1 \mod 3 \) và \( b^2 \equiv 0 \mod 3 \) (hoặc ngược lại): cũng dẫn đến \( ab \equiv 0 \mod 3 \).

Như vậy, ta kết luận rằng \( ab \equiv 0 \mod 3 \).

### Bước 3: Xét riêng trường hợp modulo \( 9 \)

Tiếp theo, chúng ta sẽ xem xét \( a^2 + b^2 \) modulo \( 9 \):
- Các giá trị của \( a^2 \mod 9 \) có thể là \( 0, 1, 4, 7 \).
- Tương tự cho \( b \).

Giả sử \( a^2 + b^2 \equiv 0 \mod 9 \) thì có một số trường hợp phải xem xét:

1. **Trường hợp \( a^2 \equiv 0 \mod 9 \)** và \( b^2 \equiv 0 \mod 9 \):

=> \( ab \equiv 0 \mod 9 \).

2. **Trường hợp \( a^2 \equiv 1 \mod 9 \)** và \( b^2 \equiv 8 \mod 9\) (hoặc ngược lại): \( ab \) không nhất thiết phải chia hết cho \( 9 \).

3. Các tổ hợp khác các giá trị \( 4, 7 \) cũng sẽ không thỏa mãn \( a^2 + b^2 \equiv 0 \mod 9 \).

### Kết luận

Trong mọi trường hợp, nếu \( a^2 + b^2 \equiv 0 \mod 27 \) được yêu cầu, thì phải thỏa mãn rằng:

\[
ab \equiv 0 \mod 9.
\]

### Bước 4: Kết luận với Modulo \( 27 \)

Chúng ta cần chứng minh rằng nếu \( a^2 + b^2 \equiv 0 \mod 27 \), \( ab \equiv 0 \mod 81 \):

Vì \( ab \equiv 0 \mod 9 \) và \( a^2, b^2 \equiv 0 \mod 27 \), ta sẽ có:

1. \( a \equiv 0 \mod 9 \) hoặc \( b \equiv 0 \mod 9 \).
2. Nếu \( a \equiv 0 \mod 3 \) thì \( c = \frac{a}{3} \) và \(c^2 + \frac{b^2}{9} \equiv 0 \mod 3\) và \( ab \) chia hết cho \( 81 \).

### Kết luận

Do đó, \( ab \) cần phải chia hết cho \( 81 \).