Để chứng minh các bất đẳng thức trong bài toán này với giả thiết \( a > b \), chúng ta sẽ cần thiết lập từng bất đẳng thức một cách riêng biệt.

1) **Bất đẳng thức \( 1 - 3a < 1 - 3b \)**:
- Bắt đầu từ giả thiết \( a > b \):
\[
-3a < -3b \quad (\text{nhân cả hai vế với } -3, \text{đảo chiều bất đẳng thức})
\]
- Cộng thêm 1 vào cả hai vế:
\[
1 - 3a < 1 - 3b
\]
⇒ Chứng minh đúng.

2) **Bất đẳng thức \( 6a - 5 > -5 + 6b \)**:
- Từ \( a > b \), ta có:
\[
6a > 6b \quad (\text{nhân cả hai vế với } 6, \text{giữ nguyên chiều bất đẳng thức.})
\]
- Cộng thêm -5 vào cả hai vế:
\[
6a - 5 > 6b - 5
\]
⇒ Chứng minh đúng.

3) **Bất đẳng thức \( -3a - 4 < -3b - 4 \)**:
- Tương tự như trên:
\[
-3a < -3b \quad (\text{vì } a > b)
\]
- Cộng -4 vào cả hai vế:
\[
-3a - 4 < -3b - 4
\]
⇒ Chứng minh đúng.

4) **Bất đẳng thức \( -1 + 2a > -1 + 2b \)**:
- Từ \( a > b \), nhân cả hai vế với 2:
\[
2a > 2b
\]
- Cộng -1 vào cả hai vế:
\[
-1 + 2a > -1 + 2b
\]
⇒ Chứng minh đúng.

5) **Bất đẳng thức \( -2a + 3 < -2b + 5 \)**:
- Từ \( a > b \):
\[
-2a < -2b \quad (\text{nhân với } -2)
\]
- Cộng 3 vào cả hai vế:
\[
-2a + 3 < -2b + 3
\]
- Cộng thêm 2 vào cả hai vế:
\[
-2a + 3 < -2b + 5
\]
⇒ Chứng minh đúng.

6) **Bất đẳng thức \( 4a + 1 > 4b - 7 \)**:
- Với \( a > b \):
\[
4a > 4b \text{ (nhân cả hai vế với 4)}
\]
- Cộng 1 vào cả hai vế, và 8 vào cả hai vế:
\[
4a + 1 > 4b - 7
\]
⇒ Chứng minh đúng.

Tóm lại, tất cả các bất đẳng thức trên đều được chứng minh đúng theo giả thiết \( a > b \).