Để xác định các giá trị nguyên của \( m \) để hệ phương trình có nghiệm duy nhất \( (x, y) \) sao cho \( x > 0, y > 0 \), ta sẽ giải hệ phương trình:

\[
\begin{cases}
mx + 4y = 10 - m \\
x + my = 4
\end{cases}
\]

### Bước 1: Tính định thức của hệ phương trình

Chúng ta có thể viết hệ phương trình dưới dạng ma trận:

\[
\begin{pmatrix}
m & 4 \\
1 & m
\end{pmatrix}
\begin{pmatrix}
x \\
y
\end{pmatrix}
=
\begin{pmatrix}
10 - m \\
4
\end{pmatrix}
\]

### Bước 2: Tính định thức

Định thức của ma trận là:

\[
D = m \cdot m - 4 \cdot 1 = m^2 - 4
\]

Để hệ có nghiệm duy nhất, điều kiện cần là \( D \neq 0 \):

\[
m^2 - 4 \neq 0 \implies m \neq 2 \text{ và } m \neq -2
\]

### Bước 3: Giải hệ phương trình

Giải phương trình thứ hai cho \( y \):

\[
y = \frac{4 - x}{m}
\]

Thay vào phương trình thứ nhất:

\[
mx + 4\left(\frac{4 - x}{m}\right) = 10 - m
\]

Giải phương trình này:

\[
mx + \frac{16 - 4x}{m} = 10 - m
\]

Nhân cả hai vế với \( m \) để loại bỏ mẫu:

\[
m^2x + 16 - 4x = m(10 - m)
\]

Sắp xếp lại:

\[
(m^2 - 4)x = 10m - m^2 - 16
\]

Từ đó tìm \( x \):

\[
x = \frac{10m - m^2 - 16}{m^2 - 4}
\]

### Bước 4: Điều kiện cho \( x > 0 \) và \( y > 0 \)

Ta cần \( 10m - m^2 - 16 > 0 \) và \( \frac{4 - x}{m} > 0 \):

1. Phương trình \( 10m - m^2 - 16 > 0 \):
\[
-m^2 + 10m - 16 > 0
\]
Giải phương trình bậc 2:
\[
m^2 - 10m + 16 = 0
\]
Các nghiệm là:
\[
m = \frac{10 \pm \sqrt{100 - 64}}{2} = \frac{10 \pm 6}{2} \Rightarrow m_1 = 8, m_2 = 2
\]

Phân tích dấu: \( 2 < m < 8 \).

2. Phương trình \( 4 - x > 0 \) có \( x < 4 \).

### Bước 5: Tìm các giá trị nguyên của \( m \)

Từ các điều kiện trên, chỉ cần xem xét các giá trị nguyên của \( m \) trong khoảng \( (2, 8) \):

- Giá trị nguyên của \( m \): 3, 4, 5, 6, 7

### Kết luận

Các giá trị nguyên của \( m \) để hệ có nghiệm duy nhất \( (x, y) \) sao cho \( x > 0 \), \( y > 0 \) là:

\[
m = 3, 4, 5, 6, 7
\]