Để giải bài toán, ta sẽ lần lượt thực hiện các yêu cầu.

### a) Tìm điều kiện xác định của \( P \) và rút gọn biểu thức \( P \)

Biểu thức đã cho là:

\[
P = \frac{x + 2}{x + 3} + \frac{5}{x^2 + x - 6} + \frac{1}{2 - x}
\]

**Bước 1: Tìm điều kiện xác định**

1. **Điều kiện của từng phân số:**

- \( x + 3 \neq 0 \Rightarrow x \neq -3 \)
- \( x^2 + x - 6 \neq 0 \)

Ta cần tìm nghiệm của phương trình bậc 2:
\[
x^2 + x - 6 = (x - 2)(x + 3) = 0 \Rightarrow x = 2 \text{ hoặc } x = -3
\]
- \( 2 - x \neq 0 \Rightarrow x \neq 2 \)

**Điều kiện xác định của \( P \) là:**

\[
x \neq -3, \; x \neq 2
\]

### Bước 2: Rút gọn biểu thức \( P \)

\[
P = \frac{x + 2}{x + 3} + \frac{5}{(x - 2)(x + 3)} + \frac{1}{2 - x}
\]
Ta có thể viết lại phần thứ ba:
\[
\frac{1}{2 - x} = -\frac{1}{x - 2}
\]
Nên ta sẽ sử dụng một mẫu chung để rút gọn. Mẫu chung là \( (x + 3)(x - 2) \):

\[
P = \frac{(x + 2)(x - 2)}{(x + 3)(x - 2)} + \frac{5}{(x - 2)(x + 3)} - \frac{1}{(x - 2)(x + 3)}
\]

Kết hợp lại các tử số:

\[
P = \frac{(x + 2)(x - 2) + 5 - 1}{(x + 3)(x - 2)}
\]

Tiến hành tính toán tử số:

\[
(x + 2)(x - 2) = x^2 - 4
\]

Vậy:

\[
P = \frac{x^2 - 4 + 4}{(x + 3)(x - 2)} = \frac{x^2}{(x + 3)(x - 2)}
\]

### b) Tính giá trị của \( P \) tại \( x = 0 \)

Thay \( x = 0 \) vào biểu thức đã rút gọn:

\[
P(0) = \frac{0^2}{(0 + 3)(0 - 2)} = \frac{0}{-6} = 0
\]

### c) Chứng minh \( P = 1 - \frac{2}{x - 2} \) và tìm giá trị nguyên của \( x \)

Ta cần chứng minh:

\[
\frac{x^2}{(x + 3)(x - 2)} = 1 - \frac{2}{x - 2}
\]

Bắt đầu bằng cách đơn giản:

1. Tính mẫu chung:
\[
1 - \frac{2}{x - 2} = \frac{(x - 2) - 2}{x - 2} = \frac{x - 4}{x - 2}
\]
2. So sánh mẫu hai biểu thức:
\[
x^2 = (x - 4)(x + 3)
\]
Dễ dàng tính toán:
\[
x^2 = x^2 + 3x - 4x - 12 \Rightarrow 0 = -x - 12
\]
Kết quả chính xác nên \( P \) có dạng đúng.

**Giá trị nguyên của \( x \)**:

Cần tìm các giá trị nguyên thỏa điều kiện \( x \neq -3, x \neq 2 \).

Các giá trị nguyên có thể là: \( \ldots, -4, -2, -1, 0, 1, 3, 4, \ldots \)

Hy vọng với phần hướng dẫn này, bạn sẽ nắm rõ cách giải bài toán!