Tìm m để nghiệm của phương trình thuộc số nguyên

Để tìm giá trị của \( m \) sao cho nghiệm \( (x, y) \) của hệ phương trình sau thuộc tập số nguyên:

\[
\begin{cases}
2x - my = 2m - 1 \\
x + 3y = m + 2
\end{cases}
\]

Chúng ta sẽ giải hệ phương trình này.

Từ phương trình thứ hai, ta có thể biểu diễn \( x \) theo \( y \):

\[
x = m + 2 - 3y
\]

Thay biểu thức cho \( x \) vào phương trình thứ nhất:

\[
2(m + 2 - 3y) - my = 2m - 1
\]

Giải phương trình này:

\[
2m + 4 - 6y - my = 2m - 1
\]

Giảm bớt \( 2m \) từ cả hai vế:

\[
4 - 6y - my = -1
\]

Cộng 1 vào cả hai vế:

\[
5 - 6y - my = 0
\]

Sắp xếp lại, ta có:

\[
6y + my = 5
\]

Nhóm \( y \) lại:

\[
y(6 + m) = 5
\]

Từ đó ta có:

\[
y = \frac{5}{6 + m}
\]

Để \( y \) là số nguyên, \( 6 + m \) phải là ước của \( 5 \). Các ước số của \( 5 \) là \( \pm 1 \) và \( \pm 5 \).

Do đó, ta có các trường hợp:

1. \( 6 + m = 1 \)
\[
m = 1 - 6 = -5
\]

2. \( 6 + m = -1 \)
\[
m = -1 - 6 = -7
\]

3. \( 6 + m = 5 \)
\[
m = 5 - 6 = -1
\]

4. \( 6 + m = -5 \)
\[
m = -5 - 6 = -11
\]

Vậy các giá trị của \( m \) sao cho \( y \) thuộc số nguyên là:

\[
m = -5, -7, -1, -11
\]

Giờ ta kiểm tra từng trường hợp để \( y \) và \( x \) có phải là số nguyên hay không.

- **Đối với \( m = -5 \)**, ta có:
\[
6 + m = 1 \rightarrow y = \frac{5}{1} = 5
\]
Tính \( x = -5 + 2 - 3(5) = -13 \), Nghiệm là \( (-13, 5) \).

- **Đối với \( m = -7 \)**:
\[
6 + m = -1 \rightarrow y = \frac{5}{-1} = -5
\]
Tính \( x = -7 + 2 - 3(-5) = 13 \), Nghiệm là \( (13, -5) \).

- **Đối với \( m = -1 \)**:
\[
6 + m = 5 \rightarrow y = \frac{5}{5} = 1
\]
Tính \( x = -1 + 2 - 3(1) = -2 \), Nghiệm là \( (-2, 1) \).

- **Đối với \( m = -11 \)**:
\[
6 + m = -5 \rightarrow y = \frac{5}{-5} = -1
\]
Tính \( x = -11 + 2 - 3(-1) = 10 \), Nghiệm là \( (10, -1) \).

Tất cả các giá trị \( m = -5, -7, -1, -11 \) đều cho nghiệm \( (x, y) \) là số nguyên.

Vậy đáp án cuối cùng là:

\[
\boxed{-5, -7, -1, -11}
\]