Để tìm giá trị của \( x \in \mathbb{Z} \) sao cho biểu thức \( x^2 + 5x + 6 \) là số nguyên tố, ta bắt đầu bằng cách thay thế biểu thức này bằng một dạng dễ phân tích hơn.

Biểu thức \( x^2 + 5x + 6 \) có thể được viết dưới dạng:

\[
x^2 + 5x + 6 = (x + 2)(x + 3)
\]

Chúng ta muốn \( (x + 2)(x + 3) \) là một số nguyên tố. Các số nguyên tố có hai yếu tố duy nhất là 1 và chính nó, vì vậy một trong hai yếu tố phải bằng 1 hoặc -1 (để tích của hai yếu tố là số nguyên tố dương). Chúng ta sẽ kiểm tra từng trường hợp:

1. **Trường hợp 1**: \( x + 2 = 1 \)
\[
x + 2 = 1 \implies x = -1
\]
Thay vào biểu thức:
\[
x^2 + 5x + 6 = (-1)^2 + 5(-1) + 6 = 1 - 5 + 6 = 2 \quad (\text{số nguyên tố})
\]

2. **Trường hợp 2**: \( x + 2 = -1 \)
\[
x + 2 = -1 \implies x = -3
\]
Thay vào biểu thức:
\[
x^2 + 5x + 6 = (-3)^2 + 5(-3) + 6 = 9 - 15 + 6 = 0 \quad (\text{không phải là số nguyên tố})
\]

3. **Trường hợp 3**: \( x + 3 = 1 \)
\[
x + 3 = 1 \implies x = -2
\]
Thay vào biểu thức:
\[
x^2 + 5x + 6 = (-2)^2 + 5(-2) + 6 = 4 - 10 + 6 = 0 \quad (\text{không phải là số nguyên tố})
\]

4. **Trường hợp 4**: \( x + 3 = -1 \)
\[
x + 3 = -1 \implies x = -4
\]
Thay vào biểu thức:
\[
x^2 + 5x + 6 = (-4)^2 + 5(-4) + 6 = 16 - 20 + 6 = 2 \quad (\text{số nguyên tố})
\]

Tổng hợp lại, giá trị của \( x \) sao cho \( x^2 + 5x + 6 \) là số nguyên tố là:

\[
x = -1, -4
\]

Và đây là các giá trị \( x \in \mathbb{Z} \) thỏa mãn yêu cầu.