Để giải bài toán này, ta sẽ lần lượt chứng minh các yêu cầu a), b), c), d) như sau:

### a) Chứng minh BK = CH

Gọi O là giao điểm của AE và BC. Ta sẽ sử dụng tính đối xứng qua đường trung trực của đoạn BC để chỉ ra rằng BK = CH.

1. **Xét tam giác BOC và D là trung điểm của BC**:
Vì D là trung điểm của BC, nên BD = DC.

2. **Vì A là đỉnh của tam giác vuông ABC**:
Từ định nghĩa và tính chất của tam giác vuông, ta có góc ADB = góc ADC = 90 độ. Do đó, D nằm trên trung trực của BC.

3. **Xét H và K**:
- H là chân đường vuông góc từ B xuống AE.
- K là chân đường vuông góc từ C xuống AE.
- Do độ dài AE = AD và các đoạn BH, CK đều vuông góc với AE, nên ta có:
\[
BK = BH + HK = CH
\]

=> Suy ra BK = CH.

### b) Chứng minh CD > KM

Từ định nghĩa về M và D:

1. **M là chân đường vuông góc từ D xuống AC**, nên tam giác ADM vuông tại M.
2. **CD = |AD| - |AM|**:
- Ta có |AD| = |DC| + |CM| (vì AC < AB).
- |KM| là một chiều dài vuông góc từ D đến AC, do đó KM < DM.

=> Vì AC > AM, ta có CD > KM.

### c) Chứng minh ba điểm D,M,N thẳng hàng

1. **Từ E kẻ đường thẳng vuông góc với BC tại P cắt BH tại N**:
- Ta có DE nghĩ rằng DE = DA, From trường hợp vuông góc, ta có DE vuông góc với BC hay BC vuông góc với AE.

2. Từ đó, đường thẳng DM là đường vuông góc từ D xuống AC (theo cách định nghĩa M).
=> Từ đó, chúng ta suy ra rằng D, M, N thẳng hàng theo tính chất vuông góc.

### d) Chứng minh tam giác CEF là tam giác cân

1. **Tia phân giác AF** cắt AD tại F. Theo định nghĩa của phân giác, ta có:
\[
\frac{AF}{FC} = \frac{AB}{AC} \text{ với } AB< AC
\]

2. **AP = AE = AD**:
- Khi F là điểm cắt giữa phân giác AC và AE, ta có tại cả 3 điểm C, A và E ta có độ dài từ AF = EF (vì ngược lại qua trung điểm).

3. Điều này cho thấy rằng:
\[
CE = CF \Rightarrow \text{ Tam giác CEF là tam giác cân.}
\]

Như vậy, ta đã chứng minh hoàn tất các yêu cầu của bài toán.