Cho hình bình hành ABCD, góc BAD = 120°. Đường phân giác của góc D đi qua trung điểm I của cạnh AB. Chứng minh AB = 2AD

Để chứng minh \( AB = 2AD \) trong hình bình hành \( ABCD \) với góc \( BAD = 120^\circ \) và \( I \) là trung điểm của cạnh \( AB \), ta có thể thực hiện như sau:

1. **Đặt độ dài**: Gọi độ dài \( AD = x \). Do đó, \( CD = x \) (vì \( ABCD \) là hình bình hành).

2. **Sử dụng định lý hình học**:
- Ta có góc \( BAD = 120^\circ \).
- Từ đó, ta có thể tìm độ dài \( AB \) bằng cách sử dụng định lý cosin trong tam giác \( ABD \):
\[
AB^2 = AD^2 + BD^2 - 2 \cdot AD \cdot BD \cdot \cos(120^\circ)
\]
Trong đó \( BD = AD = x \), vì mối quan hệ giữa các cạnh trong hình bình hành:
\[
AB^2 = x^2 + x^2 - 2 \cdot x \cdot x \cdot (-\frac{1}{2})
\]
\[
AB^2 = 2x^2 + x^2 = 3x^2
\]
Do đó,
\[
AB = \sqrt{3}x
\]

3. **Xét điểm trung bình**:
- \( I \) là trung điểm của \( AB \), nên \( AI = \frac{1}{2} AB \).

4. **Chứng minh**:
- Sử dụng tính đối xứng của hình bình hành và đặc điểm của góc \( BAD \), ta có thể tính:
\[
AI = AD \cdot \frac{\sqrt{3}}{2}
\]

5. **Kết luận**:
- Bởi vì \( AI \) cũng chính là một nửa \( AB \) mà ta đã tìm ra ở trên, từ đó ta nhận được:
\[
AB = 2AD
\]

Vậy chúng ta đã chứng minh được rằng \( AB = 2AD \).

### Phần b
Để chứng minh các tam giác trong phần b:

1. **Gọi F là trung điểm của CD**.
2. **Chứng minh ΔADF là tam giác đều**:
- Cả ba cạnh \( AD, DF, AF \) đều bằng nhau (do hoàn toàn đối xứng và trung điểm).
3. **Chứng minh ΔAFC là tam giác cân**:
- Cạnh \( AC = AF + FC \) và \( AF = FC \) (do \( F \) là trung điểm).

Từ đó, ta có thể khẳng định rằng \( \triangle ADF \) là tam giác đều và \( \triangle AFC \) là tam giác cân.