Cho tứ giác ABCD có AC vuông góc BD tại O. Chứng minh AB^2 + CD^2 = AD^2 + CD^2

Để chứng minh đẳng thức \( AB^2 + CD^2 = AD^2 + BC^2 \), chúng ta sẽ sử dụng định lý Pythagore trong tứ giác ABCD với điểm O là giao điểm của hai đường chéo AC và BD.

1. **Xét tứ giác ABCD**, với AC vuông góc BD tại O, nghĩa là góc \( AOB = 90^\circ \) và góc \( COD = 90^\circ \).

2. **Áp dụng định lý Pythagore** trong tam giác AOB:
\[
AB^2 = AO^2 + OB^2 \tag{1}
\]

3. **Áp dụng định lý Pythagore** trong tam giác COD:
\[
CD^2 = CO^2 + OD^2 \tag{2}
\]

4. **Áp dụng định lý Pythagore** trong tam giác AOD:
\[
AD^2 = AO^2 + OD^2 \tag{3}
\]

5. **Áp dụng định lý Pythagore** trong tam giác BOC:
\[
BC^2 = BO^2 + CO^2 \tag{4}
\]

6. **Kết hợp các phương trình** (1), (2), (3), và (4):
- Từ (1) và (4):
\[
AB^2 = AO^2 + OB^2
\]
\[
BC^2 = BO^2 + CO^2
\]
- Từ (3):
\[
AD^2 = AO^2 + OD^2
\]
- Tổ hợp lại:
\[
AB^2 + CD^2 = AO^2 + OB^2 + CO^2 + OD^2
\]
\[
AD^2 + BC^2 = AO^2 + OD^2 + BO^2 + CO^2
\]

7. **Do đó**, ta có:
\[
AB^2 + CD^2 = AD^2 + BC^2
\]

Như vậy, ta đã chứng minh được đẳng thức cần chứng minh \( AB^2 + CD^2 = AD^2 + BC^2 \).