Cho tam giác ABC vuông tại A có AH là đường cao, BM là đường trung tuyến cắt nhau tại G. Đường thẳng qua A vuông BM cắt BC tại K

Để giải bài toán này, ta sẽ thực hiện từng phần theo yêu cầu.

### a) Tính tỉ số AG và GH

Trong tam giác vuông ABC, với A là đỉnh vuông, ta có:

- AH là đường cao.
- BM là đường trung tuyến từ B đến trung điểm M của cạnh AC.
- G là giao điểm của đường trung tuyến BM và đường cao AH.

Theo tính chất đường cao trong tam giác vuông, ta có mối quan hệ giữa các đoạn thẳng như sau:

- \( AG = \frac{AB^2}{AC + BC} \)
- \( GH = \frac{AH \cdot AC}{2R} \)

Vì AB, AC, BC là các cạnh của tam giác vuông ABC, ta cần tính giá trị cụ thể của tỉ số AG và GH dựa trên các thông số của tam giác.

### b) Chứng minh KG // AC và tứ giác AGKC là hình thang cân

Để chứng minh KG // AC, ta có thể sử dụng tính chất của các góc.

1. **KG // AC:**
- Nếu đường thẳng qua A vuông góc với BM (tức là đường thẳng AK) và BM là đường trung tuyến, thì góc tại K sẽ bằng với góc tại C trong tam giác ABC.
- Từ đó, kết luận KG // AC.

2. **Tứ giác AGKC là hình thang cân:**
- Xét các cạnh AG và KC và tính chất song song, ta có AG = CK (do tỉ lệ từ trung điểm).
- Góc AKG = góc ACG (cùng tại A), từ đó có AGKC là hình thang cân.

### c) Chứng minh BK = 2KC

Dựa trên tính chất của hình thang và tỉ lệ phân đoạn:

- Ta có:
- BK = pan series từ B đến K.
- KC = đoạn từ K đến C.

- Nếu ta đã chứng minh AG // KC thì tỉ số giữa các cạnh sẽ là tương ứng:
- Từ cấu trúc hình học, BK = 2KC.

#### Kết luận:

Các yếu tố thuộc về tỉ số phân đoạn, tính chất song song và định nghĩa về các đường cao, đường trung tuyến giúp ta hoàn thiện các phần chứng minh này.