Để chứng minh bài toán này, ta sẽ sử dụng một số tính chất của hình thang cân.

### a) Chứng minh \( AB = BC \)

1. **Gọi \( O \)** là trung điểm của \( CD \).
2. Trong tam giác \( AOD \) và \( BOC \):
- \( AD = BC \) (giả thiết).
- \( AO = BO \) (vì \( O \) là trung điểm).
- \( OD = OC \) (cũng vì \( O \) là trung điểm).

3. Suy ra, các tam giác \( AOD \) và \( BOC \) đều đồng dạng.
4. Từ đó, theo định lý tam giác đồng dạng, ta có:
\[
\frac{AD}{BC} = \frac{AO}{BO} \Longrightarrow AD = BC.
\]
Từ đó kết luận được \( AB = BC \).

### b) Chứng minh \( DB \) là phần giác \( \angle ADC \)

1. Xét các tam giác \( ABD \) và \( CDB \):
- \( AB \) // \( CD \) (giả thiết).
- \( \angle ADB = \angle CDB \) (cùng ở một bên của đường thẳng cắt).

2. Do đó, theo tính chất góc trong cùng phía, ta có:
\[
\angle ADB = \angle CDB \implies DB là phần giác \angle ADC.
\]

Kết luận: Ta đã chứng minh được \( AB = BC \) và \( DB \) là phần giác \( \angle ADC \).