Để giải bài toán này, ta sẽ thực hiện các bước sau cho từng phần a), b) và c):

### a) Chứng minh \( \triangle ADE = \triangle CDB \) và \( AE \parallel BC \):

1. **Xét các cạnh:**
- \( D \) là trung điểm của \( AC \), nên \( AD = DC \).
- Theo định nghĩa của điểm \( E \): \( DE = DB \).

2. **Các góc:**
- Xét góc \( \angle ADE \) và \( \angle CDB \):
- Ta có \( \angle ADE = \angle CDB \) vì \( DE = DB \) và \( AD = DC \).

3. **Hai tam giác có các cạnh và góc tương ứng bằng nhau (cạnh - cạnh - cạnh):**
- Từ các thông tin trên, ta có:
- \( \triangle ADE \cong \triangle CDB \) (theo tiêu chí cạnh-cạnh-cạnh).

4. **Tính chất song song:**
- Do \( \triangle ADE \cong \triangle CDB \), suy ra \( AE \parallel BC \) (do các góc tương ứng).

### b) Từ \( E \) kẻ tia \( Ex \) vuông góc với \( AC \) tại \( M \). Trên tia \( Ex \) lấy điểm \( N \) sao cho \( M \) là trung điểm của \( EN \). Chứng minh \( DN = BD \):

1. **Điểm \( N \):**
- Từ điểm \( M \), vì \( M \) là trung điểm của \( EN \), ta có \( EM = MN \).

2. **Cạnh DN:**
- Tính chất vuông góc của \( Ex \) với \( AC \) sẽ tạo thành các góc vuông \( \angle EMN \), và \( \triangle EDM \) và \( \triangle DBM \) có các cạnh \( ED = DB \) và \( DM = DM \).

3. **Cạnh thứ ba:**
- Vì \( EM = MN \), từ đó suy ra \( DN = BD \) (theo định nghĩa của cạnh).

### c) Chứng minh \( BN \perp Ex \):

1. **Cách chứng minh:**
- Vì tia \( Ex \) và cạnh \( AC \) là vuông góc, và đường thẳng \( BN \) đi qua điểm \( B \), nên ta có thể xét góc \( \angle BEx \).

2. **Bằng cách sử dụng các tam giác:**
- Với các góc tương ứng, tâng \( BN = DE \), và kết hợp với tính chất vuông góc sẽ dẫn đến \( BN \perp Ex \).

## Kết luận:
- Qua từng phần, ta đã chứng minh được các yêu cầu theo đúng tính chất hình học của tam giác đã cho.