Để giải nhanh các bài toán này, ta sẽ sử dụng công thức cho số có dạng lặp lại.

a) Tính \( 1111111111...111 \times 777777777...77777 \) (40 chữ số 1 và 40 chữ số 7):

Bước 1: Ta biết rằng số \( 111...1 \) (40 chữ số 1) có thể được viết là:
\[
\underbrace{111...1}_{40 \text{ chữ số}} = \frac{10^{40} - 1}{9}
\]

Bước 2: Tương tự, số \( 777...7 \) (40 chữ số 7) có thể viết là:
\[
\underbrace{777...7}_{40 \text{ chữ số}} = 7 \times \underbrace{111...1}_{40 \text{ chữ số}} = 7 \times \frac{10^{40} - 1}{9}
\]

Bước 3: Tính tích:
\[
111...1 \times 777...7 = \left( \frac{10^{40} - 1}{9} \right) \times \left( 7 \times \frac{10^{40} - 1}{9} \right) = 7 \times \frac{(10^{40} - 1)^2}{81}
\]

Bước 4: Ta chỉ cần tính \((10^{40} - 1)^2\) và chia cho 81, kết quả sẽ có dạng số nguyên.

b) Tính \( 2222222...222222 \times 5555555555...55555 \) (50 chữ số 2 và 50 chữ số 5):

Bước 1: Số \( 222...2 \) (50 chữ số 2) có thể viết là:
\[
\underbrace{222...2}_{50 \text{ chữ số}} = 2 \times \underbrace{111...1}_{50 \text{ chữ số}} = 2 \times \frac{10^{50} - 1}{9}
\]

Bước 2: Số \( 555...5 \) (50 chữ số 5) có thể viết là:
\[
\underbrace{555...5}_{50 \text{ chữ số}} = 5 \times \underbrace{111...1}_{50 \text{ chữ số}} = 5 \times \frac{10^{50} - 1}{9}
\]

Bước 3: Tính tích:
\[
222...2 \times 555...5 = \left( 2 \times \frac{10^{50} - 1}{9} \right) \times \left( 5 \times \frac{10^{50} - 1}{9} \right) = 10 \times \frac{(10^{50} - 1)^2}{81}
\]

Kết luận:
- Kết quả của a) sẽ là \( 7 \times \frac{(10^{40} - 1)^2}{81} \).
- Kết quả của b) sẽ là \( 10 \times \frac{(10^{50} - 1)^2}{81} \).