Tìm dư khi chia b cho 13 và 41

Để tìm \( b \) dưới dạng \( b = 3 + 3^3 + 3^5 + \ldots + 3^{1991} + 3^{1993} \), chúng ta nhận thấy rằng đây là một tổng của dãy số mũ.

Trước tiên, ta sẽ xác định số lượng các hạng tử trong tổng này. Các số mũ là các số lẻ từ 1 đến 1993, tức là \( 1, 3, 5, \ldots, 1993 \). Số hạng tử trong dãy số này là:

\[
n = \frac{1993 - 1}{2} + 1 = 997
\]

Tổng \( b \) có thể viết lại như sau:

\[
b = 3^1 + 3^3 + 3^5 + \ldots + 3^{1993}
\]

Ta có thể sử dụng công thức tổng của một cấp số nhân để tính tổng này. Tổng các số hạng có dạng:

\[
b = 3^1 (1 + 3^2 + 3^4 + \ldots + 3^{1992})
\]

Trong đó \( a = 3^2 \) và số hạng cuối là \( 3^{1992} \), với số hạng này là:

\[
S = 1 + a + a^2 + \ldots + a^{n-1}
\]

Trong đó \( n \) là số hạng. Ta có

\[
n = \frac{1992 - 0}{2} + 1 = 997
\]

Công thức tổng cấp số nhân là:

\[
S = \frac{1 - a^n}{1 - a}
\]

Với \( a = 9 \) (tức là \( 3^2 \)) và \( n = 997 \):

\[
b = 3 \cdot S = 3 \cdot \frac{1 - 9^{997}}{1 - 9}
\]

Vậy:

\[
b = 3 \cdot \frac{1 - 9^{997}}{-8} = -\frac{3(1 - 9^{997})}{8}
\]

Tính toán \( b \) modulo 13 và 41, ta cần tính \( 9^{997} \mod 13 \) và 9 modulo 41.

### Bước 1: Tính \( 9^{997} \mod 13 \)
Đầu tiên, ta xác định chu kỳ của \( 9^n \mod 13 \):

\[
9^1 \equiv 9 \mod 13
\]
\[
9^2 \equiv 81 \mod 13 \equiv 3 \mod 13
\]
\[
9^3 \equiv 27 \mod 13 \equiv 1 \mod 13
\]

Chu kỳ là 3. Ta có:

\[
997 \mod 3 \equiv 1
\]

Vậy:

\[
9^{997} \mod 13 \equiv 9 \mod 13
\]

### Bước 2: Tính \( b \mod 13 \)

Thay vào công thức tính \( b \):

\[
b \mod 13 \equiv -\frac{3(1 - 9)}{8} \mod 13 \equiv -\frac{3 \cdot (-8)}{8} \equiv 3 \mod 13
\]

### Bước 3: Tính \( 9^{997} \mod 41 \)
Tiếp theo, tìm chu kỳ của \( 9^n \mod 41 \):

Sử dụng Fermat’s Little Theorem, ta có \( 9^{40} \equiv 1 \mod 41 \), do đó:

\[
997 \mod 40 \equiv 37
\]

Tính:

\[
9^{37} \mod 41
\]

Tính từng bậc nhỏ:
\[
9^1 \equiv 9
\]

\[
9^2 \equiv 81 \mod 41 \equiv 40 \equiv -1
\]

\[
9^4 = (9^2)^2 \equiv 1 \mod 41
\]

Do đó, ta tính:

\[
9^{37} = 9^{36} \cdot 9 \equiv (1) \cdot 9 \equiv 9 \mod 41
\]

### Bước 4: Tính \( b \mod 41 \)

Thay vào công thức tính \( b \):

\[
b \mod 41 \equiv -\frac{3(1 - 9)}{8} \mod 41
\]
\[
\equiv -\frac{3 \cdot (-8)}{8} \mod 41 \equiv 3 \mod 41
\]

### Tóm tắt kết quả:

\[
b \mod 13 \equiv 3
\]
\[
b \mod 41 \equiv 3
\]

Vậy:

\[
\text{Dư khi chia } b \text{ cho } 13 \text{ là } 3 \text{ và } 41 \text{ cũng là } 3.
\]