Gọi số tự nhiên có hai chữ số là \( xy \), trong đó \( x \) là chữ số hàng chục và \( y \) là chữ số hàng đơn vị.

Từ đề bài, ta có 2 điều kiện:

1. \( x = y + 2 \) (chữ số hàng chục hơn chữ số hàng đơn vị 2 đơn vị).
2. Nếu viết xen giữa chữ số 0 vào giữa chữ số hàng chục và chữ số hàng đơn vị thì số đó tăng thêm 630 đơn vị.

Khi xen chữ số 0 vào giữa \( x \) và \( y \), số mới sẽ là \( x0y \). Để biểu diễn số này, ta tính giá trị của số đó:

\[
x0y = 10x + 0 \cdot 10 + y = 10x + y
\]

Theo điều kiện 2, ta có:

\[
10x + y = 10xy + 630
\]

Vì \( x \) là hàng chục và \( y \) là hàng đơn vị, vậy số \( xy \) cũng có thể được biểu diễn bằng \( 10x + y \).

Giải quyết điều kiện 2, ta thay \( xy \) vào phương trình ngay trên:

\[
10x + y + 630 = 10x + y
\]

Sử dụng điều kiện 1, ta có:

\[
x = y + 2
\]

Thay \( x \) vào biểu thức \( 10x + y \) ta có:

\[
10(y + 2) + y + 630 = 10(y + 2) + y
\]

Đơn giản hóa:

\[
10y + 20 + y + 630 = 10y + 20 + y
\]
\[
y + 650 = 630
\]

Giải phương trình trên, ta có:

\[
y = 630 - 650
\]
\[
y = -20
\]

Khác số âm này không phải là số tự nhiên. Ta trở lại với biểu thức \( 10x + y + 630 \):

Dễ thấy rằng:

Ta có \( x0y \) = \( 10x + 0 + y = 10x + y \)
\[
10x + y = (10x + y) + 630
\]
Loại bỏ những giá trị làm cho phương trình không hợp lệ, tiếp tục điền và giải cho từng trường hợp phép nhập 0 này.

Tính toán hợp lệ cho bài toán trên:

Bây giờ ta tính trực tiếp:

Chỉ ra rằng \( x0y - xy = 630 \)

Thử trường hợp:

Trường hợp 1 với \( x = 3 \) \( y = 1 \)
\[
80 + 3 = 80 + 630
\]

Số hợp lệ đầu tiên là \( 31 \). Số có \( x = y + 2 \): Tính \( x = 3 \) \( y = 1 \) => số tự nhiên \( 31 \) thỏa mãn cả 2 điều kiện.

Do đó, số tự nhiên có hai chữ số là \( \boxed{31} \).