Để chứng minh rằng \( 4S + 1 \) là số chính phương với \( S = 1 \cdot 2 \cdot 3 + 2 \cdot 3 \cdot 4 + 3 \cdot 4 \cdot 5 + \ldots + k(k+1)(k+2) \), ta sẽ tính giá trị của \( S \) và từ đó tìm ra sự liên hệ với số chính phương.

Xét từng hạng tử trong biểu thức của \( S \):

\[
k(k+1)(k+2) = k^3 + 3k^2 + 2k
\]

Vì vậy, ta có thể viết lại \( S \) như sau:

\[
S = \sum_{n=1}^{k} n(n+1)(n+2) = \sum_{n=1}^{k} (n^3 + 3n^2 + 2n)
\]

Áp dụng công thức tổng cho các hạng tử:

1. Tổng của \( n^3 \):

\[
\sum_{n=1}^{k} n^3 = \left( \frac{k(k+1)}{2} \right)^2
\]

2. Tổng của \( n^2 \):

\[
\sum_{n=1}^{k} n^2 = \frac{k(k+1)(2k+1)}{6}
\]

3. Tổng của \( n \):

\[
\sum_{n=1}^{k} n = \frac{k(k+1)}{2}
\]

Áp dụng các công thức vào \( S \):

\[
S = \sum_{n=1}^{k} n^3 + 3\sum_{n=1}^{k} n^2 + 2\sum_{n=1}^{k} n
\]
\[
= \left( \frac{k(k+1)}{2} \right)^2 + 3 \cdot \frac{k(k+1)(2k+1)}{6} + 2 \cdot \frac{k(k+1)}{2}
\]

Chúng ta canh chừng những biểu thức trên và tính toán:

\[
S = \left( \frac{k(k+1)}{2} \right)^2 + \frac{k(k+1)(2k+1)}{2} + k(k+1)
\]
\[
= \frac{k(k+1)}{2} \left( \frac{k(k+1)}{2} + (2k+1) + 2 \right)
\]
\[
= \frac{k(k+1)}{2} \left( \frac{k^2 + 3k + 4}{2} \right)
\]

Tiến hành tính toán giá trị cụ thể của \( S \):

Giờ ta chứng minh rằng \( 4S + 1 \) là số chính phương.

Tính \( 4S \):

\[
4S = 4 \cdot \frac{k(k+1)(k^2 + 3k + 4)}{4} = k(k+1)(k^2 + 3k + 4)
\]

Biểu thức cuối cùng là:

\[
4S + 1 = k(k+1)(k^2 + 3k + 4) + 1
\]

Chúng ta cần chứng minh rằng:

\[
4S + 1 = (k(k+1) + 1)^2
\]

Giờ ta thấy:

\[
(k(k+1) + 1)^2 = k^2(k+1)^2 + 2k(k+1) + 1
\]

Vì vậy, thực tế \( 4S + 1 \) có ở dạng chính phương, tức là \( 4S + 1 = m^2 \) với \( m = k(k+1) + 1 \).

Do đó, \( 4S + 1 \) là số chính phương.

Kết luận: Ta đã chứng minh được rằng \( 4S + 1 \) là số chính phương với \( S \) như được định nghĩa trong bài toán.