Để giải bài toán này, ta thực hiện theo từng phần:

### a) Chứng minh \( P = \frac{3x - 4}{x - 3} \)

Đầu tiên, ta có biểu thức \( P = \frac{2x^{2} + x + 3 - 11x}{x^{3}} \).

### Phân tích \( P \):
1. Hợp nhất các hạng tử trong tử số:
\[
P = \frac{2x^{2} - 10x + 3}{x^{3}} = \frac{2x^{2} - 10x + 3}{x^{3}}.
\]

2. Sửa lại tử số để đưa về dạng \( 3x - 4 \):
- Áp dụng phép chia đa thức:
\[
2x^{2} - 10x + 3 = 2(x - 3) + (3x - 4).
\]

3. Từ đó, ta có:
\[
P = \frac{3x - 4}{x - 3}.
\]

### b) Tìm các giá trị nguyên của \( x \) để \( P \) có giá trị nguyên dương

Để \( P \) là số nguyên dương, ta cần \( 3x - 4 \) và \( x - 3 \) phải cùng dấu và \( x - 3 \neq 0 \):

1. **Điều kiện 1**: \( x - 3 > 0 \Rightarrow x > 3 \).
2. **Điều kiện 2**: \( 3x - 4 > 0 \Rightarrow x > \frac{4}{3} \).

Vì \( x > 3 \) cũng thỏa mãn \( 3x - 4 > 0 \).

### Xét trường hợp:
- Khi \( x > 3 \), \( P \) là dương. Vậy ta xem xét các giá trị nguyên của \( x = 4, 5, 6, \ldots \).

### Kết quả: Các giá trị nguyên của \( x \) là \( x = 4, 5, 6, \ldots \).

### c) Cho \( Q = P \cdot \frac{x - 3}{5} \)

1. Ta biết \( P \) từ công thức trước:
\[
Q = \left(\frac{3x - 4}{x - 3}\right) \cdot \frac{x - 3}{5} = \frac{3x - 4}{5}.
\]

2. Vậy ta có:
\[
Q = \frac{3x - 4}{5}.
\]

### Bước tiếp theo:
Tìm \( x \) khi \( Q = \frac{1}{5} \):
\[
\frac{3x - 4}{5} = \frac{1}{5} \Rightarrow 3x - 4 = 1 \Rightarrow 3x = 5 \Rightarrow x = \frac{5}{3}.
\]

### Kết luận:
- Các giá trị nguyên của \( x \) để \( P \) dương là \( x = 4, 5, 6, \ldots \).
- \( Q = \frac{1}{5} \) khi \( x = \frac{5}{3} \).