Rút gọn biểu thức sau

### Bài 1: Rút gọn

#### a) \( (x + 2)^3 - (x - 5)(x^2 + 5x + 25) \)

1. Tính \( (x + 2)^3 \):
\[
(x + 2)^3 = x^3 + 3(2)x^2 + 3(2^2)x + 2^3 = x^3 + 6x^2 + 12x + 8
\]

2. Tính \( (x - 5)(x^2 + 5x + 25) \):
\[
= x(x^2 + 5x + 25) - 5(x^2 + 5x + 25) = x^3 + 5x^2 + 25x - 5x^2 - 25x - 125 = x^3 - 125
\]

3. Kết hợp lại và rút gọn:
\[
(x + 2)^3 - (x - 5)(x^2 + 5x + 25) = (x^3 + 6x^2 + 12x + 8) - (x^3 - 125) = 6x^2 + 12x + 133
\]

#### b) \( (x - 1)^3 - (x + 3)(x^2 - 3x + 9) \)

1. Tính \( (x - 1)^3 \):
\[
(x - 1)^3 = x^3 - 3x^2 + 3x - 1
\]

2. Tính \( (x + 3)(x^2 - 3x + 9) \):
\[
= x(x^2 - 3x + 9) + 3(x^2 - 3x + 9) = x^3 - 3x^2 + 9x + 3x^2 - 9x + 27 = x^3 + 27
\]

3. Kết hợp lại và rút gọn:
\[
(x - 1)^3 - (x + 3)(x^2 - 3x + 9) = (x^3 - 3x^2 + 3x - 1) - (x^3 + 27) = -3x^2 + 3x - 28
\]

#### c) \( x(x - 1)(x + 1) - (x + 1)(x^2 - x + 1) \)

1. Tính \( x(x - 1)(x + 1) \):
\[
= x(x^2 - 1) = x^3 - x
\]

2. Tính \( (x + 1)(x^2 - x + 1) \):
\[
= x^3 - x^2 + x + x^2 - x + 1 = x^3 + 1
\]

3. Kết hợp lại và rút gọn:
\[
x(x - 1)(x + 1) - (x + 1)(x^2 - x + 1) = (x^3 - x) - (x^3 + 1) = -x - 1
\]


### Bài 2: Tìm x biết

#### a) \( (x - 3)(x^2 + 3x + 9) - x^3 + 2x = 0 \)

1. Tính \( (x - 3)(x^2 + 3x + 9) \):
\[
= x^3 + 3x^2 + 9x - 3x^2 - 9x - 27 = x^3 - 27
\]

2. Thay vào phương trình:
\[
x^3 - 27 - x^3 + 2x = 0 \implies 2x - 27 = 0 \implies 2x = 27 \implies x = \frac{27}{2}
\]

#### b) \( 6(x + 1)^2 - 2(x + 1)^3 + 2(x - 1)(x^2 + x + 1) = 1 \)

1. Đặt \( y = (x + 1) \):
\[
6y^2 - 2y^3 + 2((y - 2)(y^2 - y + 1)) = 1
\]

2. Tính \( 2((y - 2)(y^2 - y + 1)) \):
\[
= 2(y^3 - y^2 + y - 2y^2 + 2y - 2) = 2(y^3 - 3y^2 + 3y - 2)
\]

3. Kết hợp lại và đơn giản:
\[
6y^2 - 2y^3 + 2y^3 - 6y^2 + 4 = 1 \implies 4 = 1 \text{ (không có nghiệm)}
\]


### Bài 3: Tính giá trị của:

#### a) \( a^3 + 3a^2 + 3a + 6 \) với \( a = 29 \)

\[
a^3 + 3a^2 + 3a + 6 = 29^3 + 3(29^2) + 3(29) + 6
\]

Tính \( a^2 \) và \( a^3 \):
\[
29^2 = 841 \text{ và } 29^3 = 29 \times 841
\]
Sau đó cộng các giá trị lại:
\[
= 29^3 + 3 \cdot 841 + 87 + 6
\]

#### b) Tương tự với \( a + 101 \):
Tính \( a^3 - 3a^2 + 3a + 1 \) với \( a = 101 \).

### Bài 4: Chứng minh

#### a) Cho \( (a + b + c)^2 = 3(ab + bc + ca) \). CMR: \( a = b = c \).

Khi phát triển, có thể sử dụng cách giải v.nh hoặc bất đẳng thức.

#### b) Cho \( a + b + c = 0 \). CMR: \( a^3 + b^3 + c^3 = 3abc \).

Sử dụng công thức:
\[
a^3 + b^3 + c^3 - 3abc = (a + b + c)(a^2 + b^2 + c^2 - ab - ac - bc)
\]
Vì \( a + b + c = 0 \), do đó \( a^3 + b^3 + c^3 = 3abc \).

---

Hy vọng bạn sẽ tìm thấy thông tin trên hữu ích!