Để giải bài toán này, chúng ta sẽ xử lý từng phần một cách chi tiết.

**a)** Chứng minh \( AE \cdot AB = AC \cdot AD \):

Dựa theo tính chất của tam giác, ta có thể sử dụng định lý sin hoặc định lý Pythagore để tìm ra mối liên hệ giữa các đoạn thẳng.

1. Trong tam giác \( \triangle ABC \), ta có \( \sin A = \frac{h}{AB} \) và \( h = BD \) (đường cao).
2. Tính diện tích của tam giác \( ABC \) theo hai cách khác nhau:
- Diện tích \( S = \frac{1}{2} \cdot AB \cdot h \).
- Diện tích \( S = \frac{1}{2} \cdot AC \cdot AD \).

Từ đó, ta có:
\[
AE \cdot AB = AC \cdot AD
\]

**b)** Chứng minh \( AM^2 = AC \cdot AD \):

Khi có điểm \( M \) trên đoạn \( BD \) sao cho \( \angle AMC = 90^\circ \), ta có thể sử dụng định lý Pythagore:

1. Trong tam giác vuông \( \triangle AMC \):
\[
AM^2 + MC^2 = AC^2
\]
2. Từ chứng minh ở trên, ta có:
\[
MC^2 = AC \cdot AD
\]
Vì vậy, khi kết hợp lại, ta sẽ chứng minh được \( AM^2 = AC \cdot AD \).

**c)** Trên đoạn \( CE \), lấy điểm \( N \) sao cho \( \angle ANB = 90^\circ \):

Tương tự như trên, dựa vào việc sử dụng định lý Pythagore cho tam giác vuông \( \triangle ANB \):
\[
AN^2 + NB^2 = AB^2
\]
Và từ các tỷ lệ trong tam giác \( ABC \), ta có thể thấy rằng:
\[
AM = AN
\]

Chúc bạn thành công với bài toán! Nếu cần thêm hỗ trợ, xin hãy thông báo!