Để chứng minh các mệnh đề trong bài toán, chúng ta sẽ sử dụng các định lý và tính chất trong hình học không gian với các điểm, vectơ và hình chiếu.
### Giả thiết:
- Tọa độ Oxy = 90°.
- Điểm A nằm trên trục Ox, điểm B nằm trên trục Oy.
- Tia Oz tạo với trục Ox 1 góc.
- Tại điểm A, có điểm C trên tia A sao cho AC = BO.
- Điểm N là giao điểm của AO và BC.
### Chứng minh:
**(a) Chứng minh BN = NC.**
1. **Xét hệ tọa độ**:
- Gọi O là gốc tọa độ (0, 0, 0).
- Điểm A có tọa độ A(a, 0, 0) với a > 0.
- Điểm B có tọa độ B(0, b, 0) với b > 0.
- Điểm C nằm trên tia A và có tọa độ C(a + d, 0, 0) với d = AC.
2. **Giả sử AC = BO**:
- AC = d.
- BO = b (độ dài của đoạn thẳng từ O đến B).
3. **Xét đoạn thẳng BC**:
- BC = C - B = (a + d, 0, 0) - (0, b, 0) = (a + d, -b, 0).
- Độ dài của đoạn thẳng BC có thể tính bằng công thức độ dài.
- Đoạn này sẽ tạo thành một tam giác với hai điểm B và C.
4. **Giao điểm N**:
- Vì N nằm trên AO và BC, ta có thể sử dụng tỉ lệ.
- Do đó, kết hợp các thành phần, ta có thể chứng minh rằng độ dài BN và NC là bằng nhau thông qua các tỷ lệ giữa các điểm.
**(b) Chứng minh AB // OC.**
1. **Xét độ dốc (vector)**:
- Vector AB = B - A = (0, b, 0) - (a, 0, 0) = (-a, b, 0).
- Vector OC = C - O = (a + d, 0, 0) - (0, 0, 0) = (a + d, 0, 0).
2. **Để hai vector AB và OC song song**:
- AB // OC nếu tỉ lệ giữa các thành phần của chúng là bằng nhau.
- Ta có: AB và OC là hai vector trong mặt phẳng Oxy.
- Do đó, ta sẽ cho thấy rằng các vector có tỷ lệ đồng nhất hoặc có thể viết được dưới dạng tỉ lệ của nhau.