Để rút gọn biểu thức

\[
A = \sqrt{a(4-b)(4-c)} + \sqrt{b(4-c)(4-a)} + \sqrt{c(4-a)(4-b)} - \sqrt{abc},
\]

ta sẽ sử dụng điều kiện \( a + b + c + \sqrt{abc} = 4 \).

### Bước 1: Sử dụng bất đẳng thức AM-GM

Theo bất đẳng thức AM-GM, ta có:

\[
\frac{a + b + c + \sqrt{abc}}{4} \geq \sqrt[4]{abc}.
\]

Từ điều kiện đã cho, ta có:

\[
\frac{4}{4} = 1 \geq \sqrt[4]{abc} \implies abc \leq 1.
\]

### Bước 2: Gọi \( a = x^2, b = y^2, c = z^2 \)

Với \( x, y, z > 0 \), ta có:

\[
x^2 + y^2 + z^2 + xyz = 4.
\]

### Bước 3: Rút gọn các căn bậc hai

Ta sẽ tính từng phần của biểu thức \( A \):

1. Xét \(\sqrt{a(4-b)(4-c)}\):
\[
\sqrt{x^2(4-y^2)(4-z^2)} = x\sqrt{(4-y^2)(4-z^2)}.
\]

Áp dụng tương tự cho các phần còn lại và sau khi rút gọn.

### Bước 4: Kết hợp các số hạng

Cuối cùng, nhờ điều kiện bất đẳng thức và phương pháp AM-GM, ta có thể suy ra \( A \) sẽ cho kết quả cố định hoặc có công thức cụ thể dựa trên \( a, b, c \).

### Kết luận

Kết quả cuối cùng sẽ phụ thuộc vào các số \( a, b, c \) cụ thể, nhưng rất có thể qua phép tính có thể dẫn đến \( A = 4 \).