Để chứng minh các đẳng thức trong bài toán đã cho, ta sẽ thực hiện từng đẳng thức một.

### a) \((x - y)(x^4 + x^3y + x^2y^2 + xy^3 + y^4) = x^5 - y^5\)

**Chứng minh:**

Ta có thể nhận thấy rằng biểu thức bên trái có thể được viết lại thành:

\[
(x - y) \sum_{k=0}^{4} x^{4-k} y^k
\]

Theo định lý đa thức (hay định lý phân phối), ta thực hiện nhân.

Khi ta nhân \((x - y)\) với từng hạng tử:

- \(x \cdot (x^4 + x^3y + x^2y^2 + xy^3 + y^4) = x^5 + x^4y + x^3y^2 + x^2y^3 + xy^4\)
- \(-y \cdot (x^4 + x^3y + x^2y^2 + xy^3 + y^4) = -yx^4 - yx^3y - yx^2y^2 - yxy^3 - y^5\)

Kết hợp lại, ta có:

\[
x^5 - y^5
\]

Vậy đẳng thức a) là đúng.

### b) \((x + y)(x^4 - x^3y + x^2y^2 - xy^3 + y^4) = x^5 + y^5\)

**Chứng minh:**

Áp dụng cách tương tự như trên:

- Nhân \(x\):

\[
x(x^4 - x^3y + x^2y^2 - xy^3 + y^4) = x^5 - x^4y + x^3y^2 - x^2y^3 + xy^4
\]

- Nhân \(y\):

\[
y(x^4 - x^3y + x^2y^2 - xy^3 + y^4) = yx^4 - yx^3y + yx^2y^2 - yxy^3 + y^5
\]

Kết hợp lại sẽ cho các hạng tử là \(x^5 + y^5\). Vậy đẳng thức b) là đúng.

### c) \((a + b)(a^3 - a^2b + ab^2 - b^3) = a^4 - b^4\)

**Chứng minh:**

Nhân \(a + b\) vào từng hạng tử:

\[
a(a^3 - a^2b + ab^2 - b^3) + b(a^3 - a^2b + ab^2 - b^3)
\]

Ta có:

- Hạng tử từ \(a\):

\[
a^4 - a^3b + a^2b^2 - ab^3
\]

- Hạng tử từ \(b\):

\[
ba^3 - ba^2b + bab^2 - b^4
\]

Kết quả cuối cùng chui về \(a^4 - b^4\). Vậy đẳng thức c) là đúng.

### d) \((a + b)(a^2 - ab + b^2) = a^3 + b^3\)

**Chứng minh:**

Giả sử nhân \(a + b\) vào \(a^2 - ab + b^2\):

\[
a(a^2 - ab + b^2) + b(a^2 - ab + b^2)
\]

- Hạng tử từ \(a\):

\[
a^3 - a^2b + ab^2
\]

- Hạng tử từ \(b\):

\[
ba^2 - bab + b^3
\]

Kết hợp lại sẽ cho \(a^3 + b^3\). Vậy đẳng thức d) là đúng.

### Kết luận:

Tất cả các đẳng thức a), b), c), d) đều được chứng minh đúng.