Để giải bài toán này, ta cần tìm điều kiện cho số \( x \) thuộc tập hợp số tự nhiên \( N \) sao cho tổng \( A = 10 + 15 + 20 + x \) chia hết cho 5 và \( x \) không chia hết cho 5.

Bước 1: Tính tổng \( 10 + 15 + 20 \):
\[
10 + 15 + 20 = 45
\]

Bước 2: Viết tổng \( A \):
\[
A = 45 + x
\]

Bước 3: Kiểm tra điều kiện chia hết cho 5:
Tổng \( A \) chia hết cho 5 khi \( 45 + x \equiv 0 \mod{5} \). Vì \( 45 \) chia hết cho 5, nên điều kiện này trở thành:
\[
x \equiv 0 \mod{5}
\]

Bước 4: Xem xét điều kiện \( x \) không chia hết cho 5, tức là \( x \equiv 1, 2, 3, 4 \mod{5} \).

Do đó, từ hai điều kiện trên, ta có:
- \( x \equiv 0 \mod{5} \) (chia hết cho 5)
- \( x \equiv 1, 2, 3, 4 \mod{5} \) (không chia hết cho 5)

Nhưng không có giá trị nào của \( x \) cùng thỏa mãn cả hai điều kiện trên.

### Kết luận:
Không tồn tại giá trị \( x \in N \) nào mà vừa chia hết cho 5 vừa không chia hết cho 5.