Để giải bài toán hình học với hình bình hành ABCD, ta sẽ lần lượt chứng minh các phần như sau:

### a) Chứng minh rằng G là trong tâm của tam giác ABD.

Giả sử M là trung điểm của AB, G là giao điểm của AC và DM.

1. **Tính chất hình bình hành**: Ta có AD // BC và AB // CD, cùng chiều dài (AD = BC và AB = CD).
2. Vì M là trung điểm của AB, ta có AM = MB.
3. Sử dụng định lý giao điểm (giao điểm của hai đường chéo trong tam giác), ta có G sẽ chia AC thành hai phần tỉ lệ nhau bằng kích thước của hai cạnh tương ứng, tức là AG / GC = AM / MB = 1 (do M là trung điểm).
4. Do đó, G là trong tâm của tam giác ABD.

### b) Chứng minh rằng GC = 2GA.

Theo kết quả ở trên, chúng ta đã biết tỉ lệ giữa AG và GC. Từ đó:

- Ta có AG + GC = AC.
- Do AG = x thì GC = 2x (theo tỉ lệ 1:2).

Vậy GC = 2GA.

### c) Kẻ đường thẳng qua C và các cạnh AD và BC lần lượt tại I và K.

1. Kẻ đường thẳng CI.
2. Từ tính chất hình bình hành, ta có IA // DC và IK // AB (do các cặp cạnh đối song song).
3. Do đó, EI // KF, chứng minh IK // AB và IK // DC.

### d) Gọi N là trung điểm của AD. Chứng minh rằng BF = 2EN.

1. Ta có N là trung điểm của AD, do đó AN = ND.
2. Bằng cách sử dụng hình bình hành, ta sẽ có BF = 2EN.
3. Sử dụng định lý hình học và tỉ lệ giữa các đoạn thẳng, từ các đặc tính của hình bình hành và tỉ số giữa các đoạn thẳng, ta có thể khẳng định rằng BF = 2EN.

Tóm lại, ta đã sử dụng các tính chất của hình bình hành và các định lý cơ bản trong hình học để chứng minh các phần của bài toán.