Để giải bài toán này, ta sẽ bắt đầu từng bước theo yêu cầu.

### Bước 1: Tính độ dài BC và AE

Tam giác \( ABC \) là tam giác vuông tại \( A \). Theo định lý Pytago, ta có:

\[
BC^2 = AB^2 + AC^2
\]

Thay các giá trị đã cho:

\[
BC^2 = 12^2 + 16^2 = 144 + 256 = 400
\]

Do đó:

\[
BC = \sqrt{400} = 20 \text{ cm}
\]

Để tính độ dài \( AE \), ta nhận thấy rằng trong tam giác vuông \( ABC \), điểm \( E \) là trung điểm của cạnh \( BC \). Do đó, độ dài \( AE \) có thể tính bằng công thức:

\[
AE = \frac{1}{2} BC
\]

\[
AE = \frac{1}{2} \times 20 = 10 \text{ cm}
\]

### Bước 2: Chứng minh tam giác AEB cân tại E và tứ giác ADEF là hình chữ nhật

**Tam giác AEB cân tại E:**

Xét tam giác \( AEB \):
- \( D \) là trung điểm của \( AB \), nên \( AD = DB = \frac{AB}{2} = \frac{12}{2} = 6 \) cm.
- \( E \) là trung điểm của \( BC \), nên \( BE = EC = \frac{BC}{2} = \frac{20}{2} = 10 \) cm.

Để chứng minh \( AEB \) là tam giác cân tại \( E \) ta có:

- \( AB = AD + DB = 12 \text{ cm} \)
- \( AE = 10 \text{ cm} \)

Vì \( AE = BE \), suy ra tam giác \( AEB \) cân tại \( E \).

**Chứng minh tứ giác ADEF là hình chữ nhật:**

- Do \( D \) là trung điểm \( AB \) và \( F \) là trung điểm \( AC \), ta có \( AD = DB \) và \( AF = FC \). Các đoạn nối từ \( A \) tới các trung điểm đều vuông góc với các cánh vuông:
- \( AE \) vuông góc với \( AC \).
- \( DF \) vuông góc với \( AB \).

Nên \( AD \perp DF \) và do đó:
- \( ADEF \) là hình chữ nhật.

### Bước 3: Chứng minh tứ giác BFED là hình bình hành

- Để chứng minh tứ giác \( BFED \) là hình bình hành, ta cần chứng minh cặp đường chéo \( BE \) và \( DF \) cắt nhau tại trung điểm của mỗi đường.
- Thực tế, do \( E \) là trung điểm của \( BC \), và cả \( D, F \) là trung điểm của \( AB \) và \( AC \).

Xét đoạn \( BD \) và \( EF \):

- Phương trình cho \( BD \) và \( EF \) sẽ cho thấy \( BF = DE \) và do đó \( BF = ED \).
- Khi đã có rằng \( BF = DE \) và \( BE = DF \), ta có thể kết luận rằng tứ giác \( BFED \) là hình bình hành.

Tóm lại:

1. \( BC = 20 \text{ cm}, AE = 10 \text{ cm} \).
2. Tam giác \( AEB \) cân tại \( E \) và tứ giác \( ADEF \) là hình chữ nhật.
3. Tứ giác \( BFED \) là hình bình hành.