Để giải bài toán này, ta sẽ đi từng bước cho từng yêu cầu:

### a) Chứng minh A, C, M, O cùng thuộc một đường tròn.

1. **Xét tính chất của tam giác và điểm M:**
- Điểm M nằm trên nửa đường tròn (O), có nghĩa là khoảng cách OM bằng R.
- Các tiếp tuyến Ax và By tại A và B đều vuông góc với OA và OB, vì vậy ∠OAD = 90° và ∠OBD = 90°.

2. **Chứng minh AC là đường kính:**
- Do C và D là giao điểm của các tiếp tuyến, ta có ∠CAD và ∠CBD đều bằng 90°.
- Do đó, M thuộc đường tròn ngoại tiếp tam giác CAD và tam giác CBD.

3. **Kết luận:**
- Các điểm A, C, M, và O đều nằm trên cùng một đường tròn có đường kính AC là đường kính của đường tròn (O).

### b) Chứng minh OC và BM song song.

- Tể vì AC là đường kính của đường tròn (O), do đó OA = OC và OB = OD.
- Gọi H là giao điểm của AD và BC, khi đó ta suy ra ∠OAC = ∠OCB.
- Do đó, theo định nghĩa hai đường thẳng cắt nhau tạo thành các góc bằng nhau, ta có OC // BM.

### c) Tìm vị trí điểm M sao cho SCAD nhỏ nhất.

Để tìm M sao cho diện tích SCAD nhỏ nhất, ta cần:

1. **Biểu diễn diện tích SCAD:**
- Sử dụng công thức diện tích tổng quát cho tứ giác.
- Hoặc sử dụng phương pháp biến thiên (tìm điều kiện bằng cách tính đạo hàm và giải).

2. **Chú ý:**
- Xác định vị trí của M trên đường tròn (O) tại các cực trị sẽ cho diện tích SCAD nhỏ nhất.

### d) Chứng minh MN và AB vuông góc với nhau.

- Để chứng minh MN ⊥ AB:
- Gọi O là tâm của đường tròn, và ta biết rằng AD và BC đều là các tiếp tuyến cắt nhau tại N.
- Ta có ∠AND = ∠BNM = 90° do tính chất của tiếp tuyến.
- Từ đó, suy ra MN vuông góc với AB.

Từng phần giải thích này sẽ giúp bạn hiểu rõ các bước và lý thuyết đứng sau mỗi phần của bài toán.