Để tìm chữ số thứ 189 trong dãy số 10, 12, 14, ..., 138, trước tiên ta cần xác định số lượng chữ số trong từng số của dãy số này.

1. **Xác định các số trong dãy số**:
Dãy số bắt đầu từ 10 và kết thúc ở 138, với công sai là 2.

Các số của dãy số là:
- \(10, 12, 14, \ldots, 138\)

Số hạng cuối cùng trong dãy số là \(138\).

2. **Tìm số lượng số hạng**:
Ta có thể dùng công thức bậc số học để tìm số hạng cuối:
\[
a_n = a_1 + (n-1) \cdot d
\]
Trong đó:
- \(a_1 = 10\)
- \(d = 2\)
- \(a_n = 138\)

Giải phương trình:
\[
138 = 10 + (n-1) \cdot 2
\]
\[
138 - 10 = (n-1) \cdot 2
\]
\[
128 = (n-1) \cdot 2
\]
\[
n-1 = \frac{128}{2} = 64
\]
\[
n = 64 + 1 = 65
\]

Vậy dãy này có tổng cộng 65 số hạng.

3. **Tính số lượng chữ số**:
- Các số từ 10 đến 99 có 2 chữ số: \(10\) đến \(98\).
- Số hạng đầu tiên 10 và cuối cùng 98:

**Số hạng 10 đến 98**:
- Số lượng hạng là:
\[
n = (98 - 10) / 2 + 1 = (88 / 2) + 1 = 44 + 1 = 45
\]

Các số từ 10 đến 98 có tổng cộng:
\[
45 \cdot 2 = 90 \text{ chữ số}
\]

- Các số từ 100 đến 138 có 3 chữ số: \(100\) đến \(138\).
**Số hạng 100 đến 138**:
- Số lượng hạng là:
\[
n = (138 - 100) / 2 + 1 = (38 / 2) + 1 = 19 + 1 = 20
\]

Các số từ 100 đến 138 có tổng cộng:
\[
20 \cdot 3 = 60 \text{ chữ số}
\]

4. **Tổng số chữ số**:
Tổng số chữ số trong dãy số là:
\[
90 + 60 = 150 \text{ chữ số}
\]

5. **Xác định chữ số thứ 189**:
Chữ số thứ 189 không nằm trong dãy số này, vì tổng cộng chỉ có 150 chữ số.

Vì vậy, chữ số thứ 189 không tồn tại trong dãy số đã cho.