Cho khối chóp S.ABC có đáy là tam giác ABC đều cạnh a. Hai mặt phẳng (SAB) và (SAC) cùng vuông góc với đáy. Tính thể tích khối chóp S.ABC biết SM hợp với đáy một góc 60 độ, với M là trung điểm của BC

Để tính thể tích của khối chóp \( S.ABC \), ta sẽ thực hiện các bước sau:

1. **Tính chiều cao \( h \) của khối chóp**:
- Trong tam giác đều \( ABC \) với cạnh \( a \), ta có tọa độ của các đỉnh:
- \( A(0, 0, 0) \)
- \( B(a, 0, 0) \)
- \( C\left(\frac{a}{2}, \frac{a\sqrt{3}}{2}, 0\right) \)

- Tính tọa độ trung điểm \( M \) của \( BC \):
\[
M = \left( \frac{a + \frac{a}{2}}{2}, \frac{0 + \frac{a\sqrt{3}}{2}}{2}, 0 \right) = \left( \frac{3a}{4}, \frac{a\sqrt{3}}{4}, 0 \right)
\]

2. **Áp dụng định nghĩa góc**:
- Mặt phẳng \( (SAB) \) và \( (SAC) \) vuông góc với đáy, do đó \( SM \) là chiều cao của khối chóp.
- Đặt \( SM = h \). Theo đề bài, góc giữa \( SM \) và mặt phẳng đáy là \( 60° \).
- Ta có mối liên hệ giữa chiều cao \( h \) và cạnh \( a \):
\[
\tan(60^\circ) = \frac{h}{d}
\]
với \( d \) là khoảng cách từ điểm \( M \) đến mặt phẳng đáy. Trong trường hợp này, \( d \) chính là \( h \).

- Do đó:
\[
\sqrt{3} = \frac{h}{h} \Rightarrow h = \frac{a}{\sqrt{3}}
\]

3. **Tính diện tích đáy \( S_{ABC} \)**:
- Diện tích của tam giác đều \( ABC \):
\[
S_{ABC} = \frac{\sqrt{3}}{4} a^2
\]

4. **Tính thể tích \( V \) của khối chóp**:
- Công thức tính thể tích của khối chóp là:
\[
V = \frac{1}{3} \cdot S_{ABC} \cdot h
\]
- Thay các giá trị đã biết vào công thức:
\[
V = \frac{1}{3} \cdot \frac{\sqrt{3}}{4} a^2 \cdot h
\]
\[
V = \frac{1}{3} \cdot \frac{\sqrt{3}}{4} a^2 \cdot \frac{a\sqrt{3}}{3}
\]

- Kết quả:
\[
V = \frac{1}{3} \cdot \frac{\sqrt{3}}{4} a^2 \cdot \frac{a\sqrt{3}}{3} = \frac{a^3}{12}
\]

Cuối cùng, thể tích của khối chóp \( S.ABC \) là:
\[
\boxed{\frac{a^3}{12}}
\]